含分布Henstock－Kurzweil积分的一阶反周期边值问题

周 浩，叶国菊，王 鸥，杨慧敏

（河海大学 理学院，南京210098）

0 引 言

文献［1－6］在反周期边值条件下，分别研究了常导数意义下一阶常微分方程、高阶微分方程、偏微分方程和抽象微分方程解的存在性.

考虑如下含有分布导数的反周期边值问题：

其中：x′表示x的分布导数；x∈C（［0，T］）；T是正常数；f：ℝn×［0，T］→ℝn为分布（广义函数），满足如下假设条件：

（H1）f（·，t）连续，对∀t∈［0，T］成立；

（H2）对每个固定的x∈C（［0，T］），f（x（·），·）为DHK可积；

本文先给出分布Henstock－Kurzweil积分的定义及一些性质定理，然后利用Schauder不动点定理证明反周期边值问题（1）解的存在性定理，并举例说明结果的广泛性.

1 预备知识

定义基本空间为

其中φ（x）的支集是使φ（x）≠0全体点集的闭包.序列｛φn｝⊂C∞c收敛到φ⊂C∞c是指：存在紧集K⊂ℝ，使得φ和φn的支集都包含在K 中，且对每个m∈ℝ，序列｛φn｝的各阶导数｛φmn｝在K中一致收敛于φm，其中φ∈D称为检验函数.

D上的连续线性泛函称为分布（或广义函数）.由D上分布全体构成的空间是基本空间D的共轭空间，记作D′.若f∈D′，则f：D→ℝ，记作〈f，φ〉∈ℝ，其中φ∈D.

定义分布f∈D′的分布导数f′为〈f′，φ〉＝－〈f，φ′〉，其中φ是检验函数.在这种导数定义下，所有广义函数任意阶均可微，且任意阶导数都是广义函数.

在定义1下，如果f∈DHK，则对任意的φ∈D（（a，b）），满足

由DHK积分的定义可见，DHK积分是一种更广泛的积分，它包含了Riemann积分、Lebesgue积分和Henstock－Kurzweil积分.

下面举例说明DHK积分的广泛性.

例1［7］如果F是［a，b］上几乎处处逐点可微的连续函数，则F广义绝对连续.进一步，如果函数F在［a，b］上连续但不可微，则F非广义绝对连续.若F在［a，b］上不可微且F∈C（［a，b］），则F′存在且DHK可积，但非 Henstock－Kurzweil可积.反之，如果F广义绝对连续，则F∈C（［a，b］），F′（t）不仅 Henstock－Kurzweil可积而且DHK可积.此时F′（t）是F（t）的常导数.

在DHK空间中，若定义范数‖f‖＝‖F‖∞，其中F∈BC是f的原函数，则DHK是Banach空间.

在DHK空间中，定义偏序如下：若f，g∈DHK，则fg（或gf）当且仅当f－g在［a，b］上是一个正测度.即如果f，g∈DHK，则当fg时，有在这种偏序关系下，以下结论成立.

引理2［8］对于f，g，h∈D′（（a，b）），fgh，若f，h是DHK可积的，则g也是DHK可积的.

如果当n→∞时，有‖fn－f‖→0成立，则称序列｛fn｝⊂DHK强收敛于f∈DHK，记作fn→f.

DHK的共轭空间为有界变差值函数构成的空间BV［10］.

2 主要结果

反周期边值问题（1）可以写成如下形式：

其中：t∈［0，T］；u（t）是［0，T］上的非负、连续有界变差函数.

若g（x，t）＝f（x，t）＋u（t）x，则问题（2）变为

易验证g满足如下假设条件：

（H4）g（·，t）连续，对∀t∈［0，T］成立；

（H5）对每个固定的x∈C（［0，T］），g（x（·），·）为DHK可积；

引理5 反周期边值问题（3）与下述积分方程等价：

引理6（Schauder不动点定理）［11］设X是Banach空间，集合M是X 中的非空有界闭凸集；算子A：M→M是紧算子，则A有不动点.

定理1 假设条件（H4）～（H6）成立，则反周期边值问题（3）有解.

证明：在［y，z］上定义算子A：

对任意的x∈［y，z］，由式（5）得

令w＝Az－z，由条件（H4），（H6）和式（5），（6）得

进一步有

由式（7），（8）可得

通过式（8），（9）得：w＝Az－z≤0，对所有的t∈［0，T］成立，所以Az≤z.同理可得：Ay≥y.因此，A：［y，z］→［y，z］.于是，当x∈［y，z］时，

由（H6）可验证A（［y，z］）在［0，T］上是一致有界的.

要证明A：［y，z］→［y，z］是紧的，需要验证A连续并且A（［y，z］）是相对紧集.

1）A（［y，z］）是相对紧集.

由式（5）得

因为对任意的t∈［0，T］，eU（t）g（·，t）是单调的，所以

从而存在N＞0，使得

由式（11）～（13）得

又因为eU（t）g（y（t），t），eU（t）g（z（t），t）关于t∈［0，T］是DHK可积的，所以它们的原函数在［0，T］上连续，也是一致连续的.因此，A（［y，z］）在［0，T］上等度连续，对∀x∈［y，z］成立.由 Ascoli－Arzelà定理知，A（［y，z］）是相对紧集.

2）算子A连续.

假设序列｛xn｝⊆［y，z］，x∈［y，z］，当n→∞时，xn→x.由（H4）知

利用式（5）和引理3，有

综上所述：算子A满足引理6的条件，故A有不动点.因此反周期边值问题（3）有解.证毕.

由定理1，可得如下结论：

推论1 若反周期边值问题（3）有解，则反周期边值问题（1）也有解.

推论2 假设f：ℝn×［0，T］→ℝn，f（x，t）＝f1（x，t）＋f2（t）.若f1（x，t）满足条件（H1）～（H3），f2（t）在［0，T］上DHK可积，则反周期边值问题（1）有解.

证明：显然，f（x，t）关于x连续，关于t∈［0，T］是DHK可积的，所以f（x，t）满足（H1）～（H3）.由推论1知反周期边值问题（1）有解.

3 应用实例

例2 考虑反周期边值问题：

其中φ（x，t）关于x连续，且

是

的导数.则问题（16）有解.

证明：令f1（x，t）＝t2x＋φ（x，t），f2（t）＝F′（t），则f1（x，t）关于x 连续，f2（t）在［0，1］上Henstock－Kurzweil可积.由推论2知，反周期边值问题（16）有解.

注1 上述F′（t）是Henstock－Kurzweil可积但不是Lebesgue可积的，因此不能应用文献［1］中定理2.3.

例3 考虑反周期边值问题：

证明：设f1（x，t）＝t2x＋φ（x，t），f2（t）＝H′，则f1关于x连续，f2在［0，1］上DHK可积.由推论2知，反周期边值问题（19）有解.

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