四元数射影空间中全实2－调和子流形的一些注记

周俊东，宋卫东，徐传友

（1.阜阳师范学院 数学与金融学院，安徽 阜阳236037；2.安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖241003）

设Qn（c）是具有常四元数截面曲率c的四元数空间形式，若c＞0，则称其为四元数射影空间，记为QPn（c）.关于四元数射影空间中子流形的研究目前已取得许多结果［1－9］.范胜雪等［6］研究了四元数射影空间中的全实2－调和伪脐子流形，给出了这类子流形是极小的几个条件和一个积分不等式.本文研究四元数射影空间QPn（c）中的全实2－调和子流形，通过使用活动标架法和广义极值原理［7］，得到完备2－调和子流形是极小的一些条件，改进并推广了文献［6］的相关结果.

四元数射影空间QPn（c）在局部存在3个复结构｛I，J，K｝，满足

若对每个点p∈Mn，切空间TpM 垂直于I（TpM），J（TpM），K（TpM），则Mn是QPn（c）中的全实子流形.在QPn（c）中选取局部正交标架场：e1，…，en，eI（1），…，eI（n），eJ（1），…，eJ（n），eK（1），…，eK（n），当标架场限制在 Mn上时，e1，…，en是Mn上切向量场，eI（1），…，eI（n），eJ（1），…，eJ（n），eK（1），…，eK（n）是 Mn上的法向量场.本文采用如下指标约定：

设ωA和是QPn（c）上的对偶标架场和联络形式，QPn（c）的结构方程为

QPn（c）的结构方程限制在 Mn上，则有［1］：

定义S，SH为

由Cauchy－Schwarz不等式可得SH≥nH2.参照文献［8］，可得QPn（c）中2－调和子流形的等价条件.

引理1［8］Mn是QPn（c）中2－调和子流形的充要条件是

引理2［9］设M 是完备的Riemann流形，L是M 上的非负光滑函数，若∫Mf2dV ＜ ∞ 且Δf＝Lf，则f是常数.

引理3［7］设M是一个完备的Riemann流形，若M的Ricci曲率有下界，则对于任何有下界的函数f∈C2（M），对于∀ε＞0，总存在一点p∈M，使得函数f满足

定理1 设Mn是QPn（c）中的伪脐全实2－调和子流形，则Mn是极小子流形.

根据式（1）可得¯RI（1）I（2）12＝c／4，这与式（7）矛盾，所以H≠0不成立，即Mn是极小的.

证明：Mn是QPn（c）中紧致2－调和子流形，由引理1的第二式和式（1），（5）可得

所以Mn的截面曲率是常数.

注1 定理3中，由∫MnH2dV＜∞，若Vol（Mn，g）＝∞，则Mn一定是极小子流形.

另一方面，有

利用式（8）和式（9）可推出

［1］CHEN Bangyen，Houh C S.Totally Real Submanifolds of a Quaternion Projective Space ［J］.Annali di Matematica Pura ed Applicata，1979，120（1）：185－199.

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