含多个p-Laplacian算子Duffing型方程周期解的存在唯一性

陈仕洲

（韩山师范学院数学与统计学系，广东潮州 521041）

1 引言及引理

p-Laplacian 方程作为一物理模型，在非牛顿流体力学、非线性弹性理论和工程技术等许多重要领域中有广泛的应用[1-6]．在这些应用中，重要的是要知道p-Laplacian 方程周期解的存在性．文献[2]、文献[3]分别研究了一类具偏差变元的二阶p-Laplacian方程

周期解的存在问题．文献[4]、文献[5]分别研究了

周期解的存在性和唯一性()p ≥2 ．文献[6]研究了

周期解的存在性，其中pi＞1()i=1,2,3 ,p1＞p2,p3＜2.本文将利用重合度Mawhin连续定理，研究

且当β=0 时实质上推广和改进了文献[5]的结果．

为证明本文的主要结果，需要以下引理．

引理1[1]设为有界开集，是Caratheodory函数．如果

在∂Ω 上无解．

（ii）方程

在∂Ω ⋂R 上无解．

（iii）Brouwer度deg{F,Ω ⋂R,0}≠0．

2 主要结果

定理1 设

(H3) p1＞α；或p1=α,d ⋅r ＜1.则方程（6）存在一个T-周期解．

证明 考虑方程（6）的同伦方程

设x ∈C1T是方程（8）的任一解，t1,t2∈分别是x(t)在[0 ,T]上的最大值点和最小值点，则x'(ti)=0,i=1,2,则可以断言：

由方程（8）得

由（10）和（H2）即得

由（11）即得 ||x∞≤d.

方程（8）两边同乘以x()t ，并应用（H1）和（12）得

并注意到（14），可得

因此引理1的条件（ii）被满足．作变换

由（H2）有

故H(x,μ)为同伦变换且

因此引理1的条件（iii）也被满足．由引理1，方程（6）有一个T-周期解x(t)．

定理2 设

(H4)

则方程（6）至多存在一个T-周期解．

证 设x1(t),x2(t)为方程（6）的两个T周期解，则

由（19）、（20）和（H3），得

注意到

即得

由于函数φp1(v)+βφp2(v)是严格递增的，故

即方程（6）至多有一个T-周期解．

由定理1-2立即得到．

定理3 设(H1) 、(H2)、(H3) 、(H4)都被满足，则方程（6）有且仅有一个T- 周期解．

3 注记和例子

注记1 将定理2、定理3中条件()H4 替换为

(H4)*∀t ∈[0 ,T],u,v ∈R,u ≠v,(g(t,u)-g(t,v))(u -v)＞0

其余条件不变，定理2、定理3结论仍然成立．

注记2 令β=0，f()t,u =cu，则由定理3即得文献[4]的主要结果．

注记3 令β=0，则容易看出定理3推广和改进文献[5]的主要结果．

例 考虑方程

容易验证定理3的条件都被满足，故方程（26）有唯一2π 周期解．

[1]MANáSEVICH R, MAWHIN J.Periodic solutions for nonlinear systems with p-Laplacian-like operator [J].J.Differ.Equ,1998,145:367-393.

[2]鲁世平，葛渭高.具偏差变元的二阶Laplacian方程周期解存在性问题[J].数学学报，2005，48（5）：841-850.

[3]CHEUNG W S, REN J.On the existence of periodic solutions for p-Laplacian generalized Liénard equation[J].Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications，2005，60（1）：65-75.

[4]HE Zhan-bing，WANG Wen-tao，YI Xue-jun．Existence and uniqueness of periodic solutions for Rayleigh type Laplacian equation[J]．Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，232（2）：558-564.

[5]YANG X,KIM Y I,LO K.Periodic solutions for a generalized p-Laplacian equation[J].Applied Mathematics Letters，2012，25：586-589.

[6]ZHOU Zong-fu,ZENG Li,JIA Bao-rui,et al.Periodic Solutions to Duffing Type p-Laplacian equation with several p-Laplacian operations[J].Ann.of Diff.Eqs,2013，29（1）：121-126.