大数学观下的小学数学教材

裘靖

所谓“大数学观”主要是指，不把数学当作纯数学来教学、认识、研究，而把数学与生活紧密联系，体现数学源于生活、反哺生活的特质。修订的人教版数学新教材树立了大数学的观念，内容的选择更趋向生活，更具实用性，结构的调整体现以人为本的理念。下面笔者对六年级上册教材内容的变化谈谈看法。

一、总体结构的变化

本教材共9个单元，其中“比”这个单元是从“分数除法”单元中单列出来的，所以从数量上看跟原来是保持一致的。但是在内容的选择上本教材作了如下调整：“用数对确定位置”换成了“用方向距离确定位置”， “合理存款”换成了“节约用水”，“鸡兔同笼”换成了“数与形”，“比”从分数除法单元单列出来，原百分数单元的百分数的应用（折扣、利率、纳税、成数等）移到了六年级下册。

这些内容的调整，更加顺应学生的认知规律，符合学生的年龄特征。如使用原教材在四年级教学用方向距离确定位置时，有些学生就是弄不清楚A在B的什么偏什么多少度的方向上。而到了六年级，孩子们再来学习用数对确定位置又显得过于简单。再如鸡兔同笼，原来到六年级的时候学习这个知识，很多孩子在中年级就接触过，兴趣不高，也不利于他们感受从“一般假设”到“极端假设”的思维方法。

二、单元内容的变化

九个单元中，第二、四、六、七、九单元内容变化不大，只是稍作了调整。

第四单元“比”从分数除法单元单列出来，能使学生从量与量之间的关系这一角度去认识“比”，而不仅仅从运算的角度去理解“比”，有利于培养学生的代数思想。在对“比”的描述上，原教材上是“两个数相除又叫做两个数的比”，新教材则改为“两个数的比表示两个数相除”，不仅更准确，而且利于学生理解“比”和“除法”的区别与联系。

第六单元百分数（一），把原教材中百分数的特殊应用（折扣、纳税、利率等）移到了六年级下册，删掉了百分数、分数、小数互化的例题，将该内容融入到解决问题的教学中。让学生在解决问题的过程中产生互化的需求，然后再探索互化的方法，水到渠成、润物无声。该单元还新增了连续“求一个数比另一个数多（或少）百分之几”的实际问题 （例5）。该内容与分数除法单元中的例7相呼应。教学时要重视假设方法的渗透，引导学生发现假设具体数量为“1”或“a”，都会得到相同的结果，从而渗透代数思想。

第七单元扇形统计图将原教材中的一道练习题（109页第4题）改为例题，更有利于学生对三种统计图的优势和局限的理解。另外，在扇形统计图的认识中，情境与原教材是相同的，处理方式却不一样。新教材直奔主题，并多了对扇形统计图制作方法的渗透，更有利于学生理解扇形统计图呈现数据的特点。

第一、三、五、八单元是本册教材变化较大的单元，下面笔者分单元来进行说明。

（一）第一单元：分数乘法。

1.在分数乘法意义的理解上有新的变化。

传统教学强调分数乘法的意义与整数乘法的意义不完全相同，分数乘整数与整数乘法都是表示求几个相同加数之和的简便运算，而一个数乘分数则表示求一个数的几分之几是多少。新课改将被乘数和乘数统称为因数，于是3×5既可以表示3个5相加又可以表示5个3相加。到学习分数乘法意义的时候，有些老师就开始不知所措，往往是在例1中教学[211]×3表示求3个[211]是多少；例3再教学[15]×[14]表示求[15]的[14]是多少；然后再综合说[211]×3既可以表示求3个[211]是多少，还可以表示求3的[211]是多少，结果学生晕头转向。

而新教材例题的呈现方式让我们对分数乘法的意义有了清晰的认识。首先，例1通过学生熟悉的生活中分蛋糕的情境，让学生理解3个[29]用乘法表示就是[29]×3或3×[29]。然后，例2让学生根据整数乘法中的数量关系“单位量×数量=总量”列出“1桶水12L，[12]桶是多少升？”的算式是12×[12]；接着结合直观图和分数的意义，让学生发现12×[12]在这里表示的就是12L的[12]，进而得出“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几是多少”的结论。这样就把“[12]桶水”变成“1桶水的[12]”，实现了从“量”到“率”的有效转换。同时也让学生明白了“[12]桶水”（即[12]个12L）与“1桶水的[12]”（即12L的[12]）表示一个意思，从而让学生理解了分数乘法的意义与整数乘法意义在本质上是完全一致的。

2.对分数乘法解决问题的类型进行了调整。

有了上面的调整，学生就对分数乘法的意义有了完整的认识，分数乘分数的教学在内容素材的选择上范围大大拓宽，“求一个数的几分之几是多少”的教学完全融入其中，于是在解决问题中原教材例1（解决“求一个数的几分之几是多少”的实际问题）就不再单独编排了。对于此次修订增加的“连续求一个数的几分之几是多少”的问题（例8），要注意引导学生理清题目中几个量之间有什么样的数量关系，尤其是单位“1”与几分之几之间的对应关系。

3.增加了分数、小数相乘直接约分的方法指导。

原教材没有分数、小数相乘的教学，而这是日常生活、未来的数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，为此，教材在修订时增加了这部分内容（例5），让学生根据数据的特点灵活选择计算方法，除了“把分数化成小数”、“把小数化成分数”外，还可以根据数据特点直接约分，大大降低计了算的烦琐程度和出错概率，还能让学生在探讨为什么可以这样约分的过程中发展推理能力。

（二）第三单元：分数除法。

1.“倒数的认识”部分，内容的微调更有利于学生对概念本质的理解。

倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进行分数除法计算时，要用到“除以一个数，等于乘这个数的倒数”这一结论，为了体现出学习倒数的必要性，本教材把“倒数的认识”安排到了“分数除法”单元。

原教材例2很容易让学生把关注点放在“分子、分母交换位置的两个数就互为倒数”上面，以至于错误地认为只有分数、整数有倒数，而小数没有。新教材用实例突出了“互为倒数”的含义，并在例1判断两个数是否互为倒数时，注意引导学生紧扣概念进行验证，也就是要看这两个数的乘积是不是1。学生在思考一个数的倒数时，就不会只关注数的形式而是会关注倒数的本质，从而减少错误。同时，这种紧扣概念进行验证的方法也是概念教学中的一种重要方法指导。

2.新增了两类典型问题的例题。

第一类，用列方程的方法解决“和倍问题”，如例6。新教材五年级上册的“简易方程”单元例4，就已经出现此类问题。在本册教材增加这个例题，笔者认为是将前面的知识拓展到分数，一方面是列方程解决两个未知量问题的延续，另一方面也有利于学生进一步理解分数乘法的意义。

教学中教师仍然需要引导学生找出题目中的两个数量关系：“上半场和下半场共得42分”和“下半场得分是上半场的一半”。并根据其中一个数量关系设未知数，结合另一个数量关系列方程。所不同的是，本例题的教学强调对学生进行设未知数和列方程的方法多样化的指导。引导学生讲清思路，并通过不同解法的交流，找出这些方法的共性和不同之处，养成多角度地思考问题的习惯。

第二类，工程问题（例7）。该例题是用“工程问题”引出把具体的量看作“1”来解决问题的方法，同时它也是假设方法的渗透。在教学中要让学生经历发现和提出问题，分析和解决问题的过程，引导学生发现假设不同的总长，却可得到相同的结果，从而在假设具体量的基础上进一步抽象，用“1”表示公路总长。要学生体会这种变中有不变的思想、抽象的思想，并通过练习帮助学生建立这类问题的数学模型。

（三）第五单元：圆。

1.单元主题图从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑，比起原教材中的花坛，更具人文性。

2.在圆的各部分名称的引入方式上，尊重了学生的学习起点。考虑到学生在生活中已经初步具有用圆规画圆的技能，新教材改变了原来研究完圆的特征后再研究圆的画法的顺序，而是通过用圆规画圆引出圆的各部分名称，继而研究圆的性质。这种引入方式更具实践性，也更能体现圆“一中同长”的本质特征，让学生更好地理解圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小。

3.新教材减少了圆的对称性的篇幅，新增了利用圆设计图案的内容，一方面帮助学生进一步了解圆的特征，另一方面使学生充分体会数学的对称美、和谐美。

4.增加了求圆与外切正方形、内接正方形之间面积的例题。原教材中是以思考题（72页第9题）的方式出现的，所以不同的老师对这道题的处理标高不一样。其实，这个内容是很好的题材，如果学生能够通过推理发现规律，非常有利于他们体会数学的这种深邃的美。

（四）第八单元：数学广角——数与形。

著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来的思想方法，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的思想也是数学思想方法中的重要元素。孩子从数的认识到数的计算再到解决问题，很多时候都需要“形”的帮助。本册教材新增了这一内容，把数与形提炼出来，并用两个有趣的例子让学生感受数形结合的魅力，从而增强对数学学习的兴趣。

例1是用“数”的规律解释“形”的问题。教学时可以引导学生从“形”出发，思考“形”里隐藏着什么样的“数”的秘密，也可从“数”出发，看看可用什么样的“形”来表示。总之是要引导学生发现数形结合的规律。

例2是用形来解释数的规律。教学时可以引导学生通过计算发现“数”的规律，然后用各种各样的“形”来验证规律，渗透极限思想。

著名教育家陈鹤琴曾说过：教育的目的在于改进生活、充实生活，教育本身是一种生活，生活本身是一种教育。新教材的改编也提醒着教师数学教育要树立大数学观，努力引导学生自觉地将数学知识运用到生活中去，用数学概念和思维去思考生活现象，为孩子们未来的生活和学习奠定重要的基础。

责任编辑 林云志

2.新增了两类典型问题的例题。

第一类，用列方程的方法解决“和倍问题”，如例6。新教材五年级上册的“简易方程”单元例4，就已经出现此类问题。在本册教材增加这个例题，笔者认为是将前面的知识拓展到分数，一方面是列方程解决两个未知量问题的延续，另一方面也有利于学生进一步理解分数乘法的意义。

教学中教师仍然需要引导学生找出题目中的两个数量关系：“上半场和下半场共得42分”和“下半场得分是上半场的一半”。并根据其中一个数量关系设未知数，结合另一个数量关系列方程。所不同的是，本例题的教学强调对学生进行设未知数和列方程的方法多样化的指导。引导学生讲清思路，并通过不同解法的交流，找出这些方法的共性和不同之处，养成多角度地思考问题的习惯。

第二类，工程问题（例7）。该例题是用“工程问题”引出把具体的量看作“1”来解决问题的方法，同时它也是假设方法的渗透。在教学中要让学生经历发现和提出问题，分析和解决问题的过程，引导学生发现假设不同的总长，却可得到相同的结果，从而在假设具体量的基础上进一步抽象，用“1”表示公路总长。要学生体会这种变中有不变的思想、抽象的思想，并通过练习帮助学生建立这类问题的数学模型。

（三）第五单元：圆。

1.单元主题图从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑，比起原教材中的花坛，更具人文性。

2.在圆的各部分名称的引入方式上，尊重了学生的学习起点。考虑到学生在生活中已经初步具有用圆规画圆的技能，新教材改变了原来研究完圆的特征后再研究圆的画法的顺序，而是通过用圆规画圆引出圆的各部分名称，继而研究圆的性质。这种引入方式更具实践性，也更能体现圆“一中同长”的本质特征，让学生更好地理解圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小。

3.新教材减少了圆的对称性的篇幅，新增了利用圆设计图案的内容，一方面帮助学生进一步了解圆的特征，另一方面使学生充分体会数学的对称美、和谐美。

4.增加了求圆与外切正方形、内接正方形之间面积的例题。原教材中是以思考题（72页第9题）的方式出现的，所以不同的老师对这道题的处理标高不一样。其实，这个内容是很好的题材，如果学生能够通过推理发现规律，非常有利于他们体会数学的这种深邃的美。

（四）第八单元：数学广角——数与形。

著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来的思想方法，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的思想也是数学思想方法中的重要元素。孩子从数的认识到数的计算再到解决问题，很多时候都需要“形”的帮助。本册教材新增了这一内容，把数与形提炼出来，并用两个有趣的例子让学生感受数形结合的魅力，从而增强对数学学习的兴趣。

例1是用“数”的规律解释“形”的问题。教学时可以引导学生从“形”出发，思考“形”里隐藏着什么样的“数”的秘密，也可从“数”出发，看看可用什么样的“形”来表示。总之是要引导学生发现数形结合的规律。

例2是用形来解释数的规律。教学时可以引导学生通过计算发现“数”的规律，然后用各种各样的“形”来验证规律，渗透极限思想。

著名教育家陈鹤琴曾说过：教育的目的在于改进生活、充实生活，教育本身是一种生活，生活本身是一种教育。新教材的改编也提醒着教师数学教育要树立大数学观，努力引导学生自觉地将数学知识运用到生活中去，用数学概念和思维去思考生活现象，为孩子们未来的生活和学习奠定重要的基础。

责任编辑 林云志

2.新增了两类典型问题的例题。

第一类，用列方程的方法解决“和倍问题”，如例6。新教材五年级上册的“简易方程”单元例4，就已经出现此类问题。在本册教材增加这个例题，笔者认为是将前面的知识拓展到分数，一方面是列方程解决两个未知量问题的延续，另一方面也有利于学生进一步理解分数乘法的意义。

教学中教师仍然需要引导学生找出题目中的两个数量关系：“上半场和下半场共得42分”和“下半场得分是上半场的一半”。并根据其中一个数量关系设未知数，结合另一个数量关系列方程。所不同的是，本例题的教学强调对学生进行设未知数和列方程的方法多样化的指导。引导学生讲清思路，并通过不同解法的交流，找出这些方法的共性和不同之处，养成多角度地思考问题的习惯。

第二类，工程问题（例7）。该例题是用“工程问题”引出把具体的量看作“1”来解决问题的方法，同时它也是假设方法的渗透。在教学中要让学生经历发现和提出问题，分析和解决问题的过程，引导学生发现假设不同的总长，却可得到相同的结果，从而在假设具体量的基础上进一步抽象，用“1”表示公路总长。要学生体会这种变中有不变的思想、抽象的思想，并通过练习帮助学生建立这类问题的数学模型。

（三）第五单元：圆。

1.单元主题图从奇妙的自然界到文明的人类社会，从精巧的手工艺品到气势宏伟的各种建筑，比起原教材中的花坛，更具人文性。

2.在圆的各部分名称的引入方式上，尊重了学生的学习起点。考虑到学生在生活中已经初步具有用圆规画圆的技能，新教材改变了原来研究完圆的特征后再研究圆的画法的顺序，而是通过用圆规画圆引出圆的各部分名称，继而研究圆的性质。这种引入方式更具实践性，也更能体现圆“一中同长”的本质特征，让学生更好地理解圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小。

3.新教材减少了圆的对称性的篇幅，新增了利用圆设计图案的内容，一方面帮助学生进一步了解圆的特征，另一方面使学生充分体会数学的对称美、和谐美。

4.增加了求圆与外切正方形、内接正方形之间面积的例题。原教材中是以思考题（72页第9题）的方式出现的，所以不同的老师对这道题的处理标高不一样。其实，这个内容是很好的题材，如果学生能够通过推理发现规律，非常有利于他们体会数学的这种深邃的美。

（四）第八单元：数学广角——数与形。

著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系，是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来的思想方法，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的思想也是数学思想方法中的重要元素。孩子从数的认识到数的计算再到解决问题，很多时候都需要“形”的帮助。本册教材新增了这一内容，把数与形提炼出来，并用两个有趣的例子让学生感受数形结合的魅力，从而增强对数学学习的兴趣。

例1是用“数”的规律解释“形”的问题。教学时可以引导学生从“形”出发，思考“形”里隐藏着什么样的“数”的秘密，也可从“数”出发，看看可用什么样的“形”来表示。总之是要引导学生发现数形结合的规律。

例2是用形来解释数的规律。教学时可以引导学生通过计算发现“数”的规律，然后用各种各样的“形”来验证规律，渗透极限思想。

著名教育家陈鹤琴曾说过：教育的目的在于改进生活、充实生活，教育本身是一种生活，生活本身是一种教育。新教材的改编也提醒着教师数学教育要树立大数学观，努力引导学生自觉地将数学知识运用到生活中去，用数学概念和思维去思考生活现象，为孩子们未来的生活和学习奠定重要的基础。

责任编辑 林云志