利用数值微分公式计算曲面面积

夏军剑++刘俊峰++张新巍

摘 要：重积分的数值算法比较多见，但针对曲面积分的数值算法几乎没有。本文利用积分中值定理，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面表面积的数值计算公式，并推导给出了复化计算公式，最后利用matlab软件举例进行仿真，通过实验数据验证，结果证明本文的方法比传统的方法具有更高的精度和计算效率，程序结构更简单，易于编制和调试，更具实用性。不足之处就是与传统算法的精度在数量级上一致。

关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重积分的数值计算方法有很多，但是在实际应用中，曲面面积的很重要，而曲面面积计算的数值方法却不多，目前还没有找到一种高效、精确的计算其表面积方法。文献[1][2]模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们建立利用积分中值定理和数值微分公式，建立一个新的计算表面积的数值计算公式—— “四点”插值算法。

1 单元构造和数值计算公式

已知曲面函数为，则考虑曲面在矩形区域内的表面积。对区域进行分割，首先考虑如图1网格单元区域：

利用积分中值定理[3]

则

若，充分小，则由偏导数的连续性有：

，

于是

由三点数值微分公式[4]

，

于是

2 误差估计

其中

由三点数值微分公式[4]

，其中

由二阶泰勒展开：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 复化公式

计算矩形区域内函数的表面积，在格网化区域计算表面积。首先对区域进行划分，把目标区域划分成个方格，则有：

，

取如图2的方格，则在每个方格上应用表面积的近似计算公式，只需计算4个信息点。

4 算例分析

例：曲面函数在矩形区域内的表面积。

其表面积计算的精确值为：

在相同的分割网格下：

“四点”插值算法节点数：

三角形法需要的节点数：

数值计算结果如表1。

5 结语

通过实验的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面积的算法误差和传统的“三角形法”误差虽然都是，但本文方法的误差是“三角形法”的，计算时间是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。

参考文献

[1] 陈吉龙，武伟，刘洪斌.DEM在林地表面积计算中的应用研究[J].西南农业学报，2008，21（5）.

[2] 魏东，张秀程.基于递归算法的三维地形面积计算方法研究[J].沈阳：沈阳工业大学信息科学与工程学院，2007（3）.

[3] 同济大学.微积分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 数值分析[M].endprint

摘 要：重积分的数值算法比较多见，但针对曲面积分的数值算法几乎没有。本文利用积分中值定理，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面表面积的数值计算公式，并推导给出了复化计算公式，最后利用matlab软件举例进行仿真，通过实验数据验证，结果证明本文的方法比传统的方法具有更高的精度和计算效率，程序结构更简单，易于编制和调试，更具实用性。不足之处就是与传统算法的精度在数量级上一致。

关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重积分的数值计算方法有很多，但是在实际应用中，曲面面积的很重要，而曲面面积计算的数值方法却不多，目前还没有找到一种高效、精确的计算其表面积方法。文献[1][2]模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们建立利用积分中值定理和数值微分公式，建立一个新的计算表面积的数值计算公式—— “四点”插值算法。

1 单元构造和数值计算公式

已知曲面函数为，则考虑曲面在矩形区域内的表面积。对区域进行分割，首先考虑如图1网格单元区域：

利用积分中值定理[3]

则

若，充分小，则由偏导数的连续性有：

，

于是

由三点数值微分公式[4]

，

于是

2 误差估计

其中

由三点数值微分公式[4]

，其中

由二阶泰勒展开：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 复化公式

计算矩形区域内函数的表面积，在格网化区域计算表面积。首先对区域进行划分，把目标区域划分成个方格，则有：

，

取如图2的方格，则在每个方格上应用表面积的近似计算公式，只需计算4个信息点。

4 算例分析

例：曲面函数在矩形区域内的表面积。

其表面积计算的精确值为：

在相同的分割网格下：

“四点”插值算法节点数：

三角形法需要的节点数：

数值计算结果如表1。

5 结语

通过实验的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面积的算法误差和传统的“三角形法”误差虽然都是，但本文方法的误差是“三角形法”的，计算时间是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。

参考文献

[1] 陈吉龙，武伟，刘洪斌.DEM在林地表面积计算中的应用研究[J].西南农业学报，2008，21（5）.

[2] 魏东，张秀程.基于递归算法的三维地形面积计算方法研究[J].沈阳：沈阳工业大学信息科学与工程学院，2007（3）.

[3] 同济大学.微积分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 数值分析[M].endprint

摘 要：重积分的数值算法比较多见，但针对曲面积分的数值算法几乎没有。本文利用积分中值定理，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面表面积的数值计算公式，并推导给出了复化计算公式，最后利用matlab软件举例进行仿真，通过实验数据验证，结果证明本文的方法比传统的方法具有更高的精度和计算效率，程序结构更简单，易于编制和调试，更具实用性。不足之处就是与传统算法的精度在数量级上一致。

关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分

中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（c）-0238-02

二重积分的数值计算方法有很多，但是在实际应用中，曲面面积的很重要，而曲面面积计算的数值方法却不多，目前还没有找到一种高效、精确的计算其表面积方法。文献[1][2]模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们建立利用积分中值定理和数值微分公式，建立一个新的计算表面积的数值计算公式—— “四点”插值算法。

1 单元构造和数值计算公式

已知曲面函数为，则考虑曲面在矩形区域内的表面积。对区域进行分割，首先考虑如图1网格单元区域：

利用积分中值定理[3]

则

若，充分小，则由偏导数的连续性有：

，

于是

由三点数值微分公式[4]

，

于是

2 误差估计

其中

由三点数值微分公式[4]

，其中

由二阶泰勒展开：

，其中

于是

其中

同理

所以

3 复化公式

计算矩形区域内函数的表面积，在格网化区域计算表面积。首先对区域进行划分，把目标区域划分成个方格，则有：

，

取如图2的方格，则在每个方格上应用表面积的近似计算公式，只需计算4个信息点。

4 算例分析

例：曲面函数在矩形区域内的表面积。

其表面积计算的精确值为：

在相同的分割网格下：

“四点”插值算法节点数：

三角形法需要的节点数：

数值计算结果如表1。

5 结语

通过实验的matlab仿真，可知基于本文的方法求解曲面面积的算法误差和传统的“三角形法”误差虽然都是，但本文方法的误差是“三角形法”的，计算时间是“三角形法”的二十分之一。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。

参考文献

[1] 陈吉龙，武伟，刘洪斌.DEM在林地表面积计算中的应用研究[J].西南农业学报，2008，21（5）.

[2] 魏东，张秀程.基于递归算法的三维地形面积计算方法研究[J].沈阳：沈阳工业大学信息科学与工程学院，2007（3）.

[3] 同济大学.微积分[M].3版.北京：高等教育出版社，122.

[4] 数值分析[M].endprint