考虑定子铁心片间短路时的涡流及涡流损耗的有限元分析

孟大伟 肖利军 孟庆伟

（哈尔滨理工大学电气与电子工程学院 哈尔滨 150080）

1 引言

大多数电机使用叠片来抑制感应涡流，减少感应涡流损耗，但涡流损耗仍然很大，特别是当定子铁心中出现片间短路故障时。故障电流会在铁心中引起附加损耗，并因此导致局部过热，如果进一步发展可能会影响附近导体绝缘的整体使用寿命，甚至会引起叠片烧毁或融化。所以对定子铁心故障区域的涡流及涡流损耗的研究，会更清楚地认识到涡流损耗对电机整体性能的影响。

本文意义在于对定子铁心故障的模拟。因现在主流的定子铁心故障模拟的方法很多，但是一般均采用类比法。例如在文献[1]中，定子铁心故障的模拟就是通过环绕在定子铁心周围的导线获得的，如图1 所示。使用短路线圈的方法就是可以避免将单个硅钢片组成的模型焊接在一起或是使用定位筋固定。而在文献[2]中提出了一种产生和量化定子铁心故障的方法，也就是在定子铁心槽口处引入铜片，如图2 所示，以便在铁心叠片中形成短路。以上两种方法的优点在于，均允许产生非破坏性的故障模拟，因此可以进行重复性深层次的故障现象研究。

图1 定子铁心故障仿真的实验设置Fig.1 Experiment setup for the emulation of the stator core fault

图2 通过铜片实现的定子铁心片间短路Fig.2 Short circuit of the stator core lamination through a copper piece

叠片间的短路也可以通过局部焊接实现，一种相似的方法是使用电钻头直径与故障长度相对应的电钻在任意位置钻洞。并将该洞焊接上与定位筋一起确保故障电流回路的形成[3]。图3 所示为叠片焊接的例子。

图3 焊接的叠片Fig.3 Welded laminations

但是上面的几种方法并没有真实地反映出实际片间短路的情况。而且这些方法存在一个很明显的缺陷，那就是对故障位置的模拟，特别是出现在定子铁心轭部的故障。定子铁心故障描述得越精确，对定子铁心片间绝缘故障的检测越有帮助。但真实的定子铁心绝缘故障很难被模拟，并且很难利用有限元方法进行分析。但是对于图4 中所示的实验测试铁心[3]，可以使用本文提出的方法处理定子铁心绝缘故障，可以测量和分析铁心中任意位置的片间短路。任意的铁心绝缘故障可以通过在将扇形片固定在定位筋上之前实现，即破坏该处的绝缘。这样就避免了其他方法存在的缺陷，并可利用本文提到的方法进行有限元分析。

图4 对不同位置和强度的片间短路进行研究的试验铁心Fig.4 Test core for investigation of interlamination short-circuit for different positions and strength

出现在铁心叠片中的涡流一般都是通过矢量方程计算[4]。但在本文中，使用文献[5]中提到的方程并对导体区域加以修正。并使用三维有限元的方法计算硅钢片平面内的涡流及涡流损耗。对真实的叠片模型和连续体模型进行模拟，并将两种模型在工频下产生的有限元结果进行对比分析。

2 方法

2.1 正常情况下的定子铁心等效电导率和磁导率

对于实际的叠片铁心，其组成铁心的硅钢片的厚度要远小于集肤深度，并且在集肤深度内涡流会迅速变化，这就要求对每片硅钢片都进行非常细致的剖分，但这会导致巨大的计算代价。为了避免这个问题的出现，主要的想法就是用一种均质化媒质代替叠片铁心，并且媒质与叠片铁心的尺寸相同，并有相同的涡流及涡流损耗。该媒质的电导率就是所谓的等效电导率。

本文叠片材料采用的坐标系是全局笛卡尔坐标系，该坐标系的xOy 平面位于叠片平面上。拥有18根定位筋的连续体模型，位于矩形励磁绕组的中间，如图5 所示，且全局坐标系位于励磁绕组上。励磁绕组最内侧的部分位于铁心轴线处。绕组与铁心端部的距离要在一米以上，这样感应磁通的影响就会最小[6]。由于仅计算叠片内的涡流及涡流损耗，故忽略扇形片接口连接是合理的。

图5 定子铁心连续体模型Fig.5 The stator core continuum model

在出版的文献中有两种传统的方法确定等效电导率。在文献[7,8]中提出了一种各向同性的电导率，可以被写为

式中 n——硅钢片数量；

σ——硅钢片电导率。

在文献[9]中，作者提出了一种有效但很复杂的各向异性电导率模型。垂直于叠片方向的等效电导率可以通过下面的等式获得

式中 h,B——定子铁心轭部高度和铁心的厚度；

b——铁心硅钢片的厚度；

垂直穿过叠片平面的集肤深度δ 可以使用下面的等式近似

式中 μ0——空气的磁导率，并且等于4×10-7H/m；

f——工频。

平行于硅钢片方向的电导率即是所知的

在文献[10]中，垂直于硅钢片方向的电导率被简化为

在这里F 是叠压系数。这样连续体的各向异性电导率的等效张量可以被表述为

在文献[11]中，提出了基于有限元方法的三维方案，该方案采用了各向异性电导率。其最主要的假设就是叠片的厚度相比于典型的趋肤深度很薄。均质化方法在垂直于叠片平面方向的电导率是0。在接下来的情况中，硅钢片材料的电导率和相对磁导率分别是5MS/m 和2 000，叠压系数是0.95。

由各向异性电导率的表达式可得

σz=221.9S/m

σx=σy=4 750 000S/m

σz<<σx和σy，所以上面设定垂直于叠片平面方向的电导率为0 是合理的。这样等效电导率张量就简化为

上面的表述忽略了叠片铁心中主磁通感应的涡流并且只描述了平面方向的电流。同时，这种方法仅在低频（例如工频）下有效[12]；应用在连续体模型上也有很高的精度。

各向同性电导率定义的局限性在于不能有效地分析由垂直于叠片方向漏磁通产生的涡流，尽管数值很小，但不能忽略其对磁场和总涡流损耗产生的巨大影响。

而各向异性电导率的定义很好地解决了各向同性电导率遇到的问题，并且忽略了平行于叠片平面的主磁通产生的涡流。这部分产生的涡流损耗会在后处理中额外计算。

磁导率张量可以通过文献[9]给出

在本文中，认为叠片情况下μx=μy=μz=μr，这里μr是相对磁导率。

2.2 定子铁心发生片间短路时的等效电导率

铁心故障可以发生在大型旋转电机叠片铁心的任意位置，但经常发生在定子铁心上。当定子铁心存在片间短路时，沿铁心周向流动的磁通会在故障处感应出磁动势，该磁动势便会在故障处产生故障电流。故障电流沿故障轴向向下流动并沿定位筋返回。图6 为该现象的示意图。

图6 定子叠片铁心和片间短路产生涡流的示意图Fig.6 Schematic diagram of the stator laminated core and the eddy currents generated by a short-circuit

由于叠片材料（其中一些也在平行方向）和定位筋回路的电阻率很低，因此故障回路的电流很大程度是由故障区域本身决定的。

基于上面的描述，故障区域可以使用拥有各向异性电导率的块状导体模型。但是，在这里要对上面提到的垂直于叠片平面的等效电导率加以修正，即不能认为其为0 或为极小值。根据实际的片间绝缘故障，可以假设垂直于叠片平面的等效电导率为硅钢片的电导率σ，同时，为避免剖分时故障区与非故障区因尺寸上的差异而产生不必要的矛盾，本文采用三维自适应网格方法对其进行剖分，以使两者接触区域附近的网格平滑过渡，并达到预期的精度。通过对故障区域的分析可知，故障区域的相对磁导率也是μr，这样的假设是相对合理的，因此故障区域的电导率张量可以表示成

2.3 对于各向异性电导率的连续体模型的分析

首先将整个问题区域V 分成涡流区域V1和非涡流区域V2。合成的三维模型使用T，ψ-ψ 方程进行分析，该方程在整个问题域V 内使用感应标量电动势ψ，在涡流域V1内使用引入的矢量函数T。这里对T，ψ-ψ 方程组进行简要的叙述，以便于后期参考[13]。

涡流区域V1内

非涡流区域V2内

式中 J——电流密度；

H——磁场强度；

Hs——源电流密度在无限大空间所产生的磁场强度。

通过下面的公式计算磁通密度B 和电场强度E

式中 μ——磁导率；

σ——电导率张量。

T 和ψ 满足的微分方程是

按照毕奥-沙伐定律预先算出Hs，即

使用伽辽金方法会使上面的方程成为一个对称的、唯一的方程组，这会使它自身更好地适应Krylov类型迭代计算[14]。

连续体模型和实际叠片模型使用的T，ψ-ψ 方程的边界条件是

在这里下角标Aniso 代表电导率各向异性的连续体的解，ΓLam是狄利克雷边界条件[15]。

涡流损耗可以写成

3 数字示例

3.1 模型分析

利用图5 中的实际工程模型可以对各向异性电导率的连续体模型进行研究。励磁绕组的励磁电流是175A。为了便于进一步的对比分析，忽略了模型边缘涡流的影响。发生片间短路的实际定子铁心由4 片0.5mm 厚的硅钢片组成，并且实际模型的其他尺寸与连续体模型相似，励磁电流等于连续体模型的励磁电流。

3.2 涡流计算

实际叠片的模型和连续体的模型均使用一阶四面体剖分。利用有限元方法对三维涡流场进行分析，该有限元方法使用了T，ψ-ψ 方程。图7 所示为发生片间短路故障的定子铁心的涡流密度，分别显示了连续体模型和实际叠片模型的结果。在以下情况中均是上面的图形为连续体铁心模型而剩下的一个就是实际的叠片铁心模型。

图7 涡流密度Fig.7 Eddy current density plot

图8 绘制了一条穿过定子铁心故障区域路径上的涡流密度幅值曲线图。可以再次注意到非常明显的涡流效应，这两个模型都有本质上相同的电流分布。它们的幅值在故障区几乎相同并且在非故障部分的值接近为0。

图8 沿指定路径的涡流密度JFig.8 Graph of the eddy-current density J along a specified path

图9 中可以看见由箭头表示的涡流密度矢量，这里箭头表示在定子铁心平面内的电流密度矢量，这两个模型的涡流密度的方向几乎一样。

图9 在铁心中的涡流密度矢量（箭头所示）Fig.9 Eddy current density vectors（represented by arrows）in the stator core

从上面的图中可以注意到定子铁心故障区域的电流密度比其他区域要高很多。由于故障横截面积随着故障区域热量增长而变大，这就使得故障电阻减小，这样感应阻抗变成了唯一限制故障电流的因素。对于实际工程问题，出现这样的现象是很合理的。

3.3 涡流损耗

在有限元分析中，就像这种直接方法的情况，涡流损耗的计算可以直接使用提到的均质化方法计算。由于已经计算了叠片涡流，所以图10 中显示了其损耗密度。

可以注意到涡流损耗密度主要集中在定子故障区域。叠片的厚度和铁磁材料的电阻率是决定涡流损耗密度下限的主要因素。这就意味着在没有叠片故障的情况下涡流损耗的值很小，甚至接近于0。

4 结论

本文提出的均质化方法用来计算电导率为各向异性的定子铁心中发生片间短路时的涡流及涡流损耗，并且该方法不必去模拟每个叠片。如果忽略铁心饱和边缘效应，这种方法是合理的、可行的。同时在低频的情况下这些影响也是微乎其微的，特别在工频的情况下。本文提出的方法可以有效地减少计算资源并满足计算精度的需要。

图10 涡流损耗/（W/m3）Fig.10 Eddy current losses

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