基于数理推导的砂岩地层渗透率计算新模型

谢伟彪，周凤鸣，司兆伟，李颖，殷秋丽

（1．冀东油田勘探开发研究院，河北 唐山063004；2．冀东油田工程监督中心，河北 唐山063004）

0 引 言

陆海相含油气盆地中烃源岩（泥质岩、煤岩）和岩石渗透率的高低反映了传输量的多少，其解释精度是油藏描述和剩余油定量描述的关键［1］，是决定油气藏成藏和油气层产能大小的重要因素。

岩性对渗透率有着很大的影响，岩石颗粒的粗细及分选性的好坏影响着孔隙度和孔喉的大小，这些都是影响渗透率的关键因素［2］。测井解释中比较常用的方法：渗透率与孔隙度拟合方法［3］，该方法不能满足复杂砂泥岩储层渗透率的精度要求，且一般具有较强的区域局限性；由Kozeny和Carman公式提出的KC公式由于不能直接从测井资料中获取相应参数，从而其应用受到限制［4－6］；Timur提出的渗透率公式反映了渗透率和束缚水饱和度的关系［7］，但不能充分体现孔隙结构的影响。为了提高砂岩油气藏渗透率测井计算精度，降低渗透率解释模型区域局限性，本文基于薄膜孔隙模型，通过数理推导，建立了砂岩储层渗透率计算新模型。

1 渗透率计算新模型的数理推导

砂泥岩地层中砂岩颗粒结合得较紧密，在磨圆度一般的情况下，孔隙截面的厚度和宽度相差很大，多以扁平孔道的网状分布，更接近带状、甚至薄片状模型［8］。本文将砂岩有效孔隙视为薄膜型孔隙，孔隙体积由孔隙度表征，描述为有效孔隙度与束缚水孔隙度之和，即φt＝φe＋φwb，φe为岩石有效孔隙度，φwb为束缚水孔隙度［9］。

对于纯净砂岩，设单位体积岩石孔隙等效截面积为B＊，孔隙等效长度为L＊，孔隙等效横截面宽度为H＊，孔隙等效横截面厚度为R＊，且有H＊≫R＊，则孔隙度φ可表述为

薄膜孔隙模型中纯砂岩孔隙比表面S＊可表述为

由 H＊＝B＊／R＊，式（1）、式（2）结合可得

可见，R＊为孔隙度和孔隙比表面的函数，可理解为砂岩等效薄膜孔喉直径。纯砂岩总孔隙度与有效孔隙度基本相等，根据式（3），总孔隙度和有效孔隙度可表述为φt＝φ＝R＊S＊／2。对于泥质砂岩，其有效孔隙度可根据纯砂岩表达形式表述为

式中，φe为泥质砂岩有效孔隙度；R为泥质砂岩等效孔喉直径；Se为泥质砂岩等效孔隙比表面。显然，泥质砂岩有效孔隙度小于总孔隙度，孔道迂曲度较纯砂岩增大，即有效孔隙等效长度L增大，泥质砂岩等效孔隙比表面Se较总孔隙比表面S增大，根据上述关系，假定代入式（4）整理得

式中，S为泥质砂岩总孔隙比表面；Swb为束缚水饱和度。由式（5）可见，等效孔喉直径随束缚水饱和度增大而减小。根据式（1），泥质砂岩有效孔隙度可表示为

式中，H、B、L和R分别为泥质砂岩的等效孔隙截面宽度、单位体积岩石孔隙等效截面积、孔隙等效长度和孔隙等效横截面厚度。

流体在岩石孔隙中为稳流状态下其速度分布具有对称性，选孔隙截面厚度R中点r作为坐标原点。根据牛顿内摩擦定律，r处的内摩擦力微分方程为

式中，dv／dr为流速梯度；μ为流体黏度。设单位体积模型中两端压强差为dp，则内摩擦力应与孔隙两端压差力2rHdp平衡，即

由式（8）整理得到流速梯度为

r＝R／2处V＝0，对式（9）在r＝0～R／2上积分，得到流速分布

微分流量dQ＝2 HVdr，在r＝0～R／2上对dQ积分得流量为

根据达西定律，对于岩石截面有

式中，K 为地层渗透率。式（12）和式（11）相等，对式（11）积分，并结合式（6）整理得到

可见K与R关系密切，R能直接反映岩石渗透性。对于泥质砂岩，结合式（5），整理得

引入岩石孔道迂曲度参数τ，在单位体积模型中有τ＝L，则上式改写为

式（15）即为泥质砂岩渗透率计算新模型。考虑到实际岩石与理想模型的差别，引入经验系数ε替代模型中的常数“3”。

由式（16）可见，渗透率与有效孔隙度的3次方成正比；与岩石比表面平方成反比；与单位体积和束缚水饱和度差的平方成正比，系数ε随地区特点变化。当岩石中束缚水饱和度为0时，即纯砂岩的情况，式（16）转化为Kozeny与Carman公式。该渗透率公式是对Kozeny与Carman公式的修正，在Kozeny与Carman公式的基础上引入了束缚水饱和度参数的新形式，以更全面的孔隙结构参数更合理地考虑了泥质砂岩中孔隙结构对渗透率的影响，可以直接用于渗透率计算。该式中φe（1－Swb）2／S2在一定程度上反映了泥质砂岩孔隙结构。

在实际应用中，比表面与粒度中值Md有较好的相关性，泥质砂岩地层可依据下式由粒度中值估算比表面。

式中，c为地区校正系数，粒度中值可通过测井资料求取。将式（17）代入式（16），渗透率计算公式变化为

式中，C＝εc为渗透率地区校正系数。

2 验证与应用

利用岩心分析数据检验渗透率新模型的计算精度，并与常规经验模型及Timur公式计算结果相比较，考察新模型的适应性，岩心分析数据见表1。

表1 岩心实验数据

基于表1岩石物理实验资料，渗透率与孔隙度的拟合关系为

渗透率新模型、孔隙度的经验模型以及Timur公式渗透率计算结果与岩心实测空气渗透率对比情况见图1至图3，误差分析见表2。

图1 新模型计算渗透率与岩心渗透率对比关系图

图2 孔隙度经验模型计算渗透率与岩心渗透率对比关系图

图1至图3中，新模型m＝2，C＝2．25。对比3种模型渗透率计算结果，孔隙度的经验模型计算误差最大，平均相对误差为68．31%，主要原因是该模型只考虑了孔隙度单一因素影响；Timur公式以束缚水饱和度为指示，考虑了孔隙结构影响因素，计算误差较小，平均相对误差为43．6%；而新模型更加合理地考虑了孔隙结构影响，计算结果与岩心分析值之间误差最小，平均相对误差只有24%左右。可见，新模型使泥质砂岩渗透率的计算精度得到了大幅度提高。

图3 Timur公式计算渗透率与岩心渗透率对比关系图

图4 粒度中值与泥质含量建模

为进一步验证新模型的适用性，以冀东油田×区Y井为实例进行渗透率的连续性测井评价。Y井有核磁共振测井资料，新模型中所需要的有效孔隙度和束缚水饱和度参数以核磁共振测井计算的有效孔隙度和束缚水饱和度曲线值进行计算；而新模型所需要的粒度中值参数，经过对×区的岩心分析数据进行岩心归位以及统计分析，×区粒度中值与泥质含量关系良好，建立粒度中值计算模型见图4，粒度中值＝0．0186－3．4929Vsh＋291．57；并且利用×区的岩心实验数据确定新模型中计算储层渗透率的地区经验系数C＝2．8，τ＝1。

利用核磁共振测井资料计算的有效孔隙度和束缚水饱和度，以及利用岩心实验资料建模计算的粒度中值，代入新模型中计算储层渗透率，其结果见图5。

图5为利用新模型对Y井储层渗透率评价的成果图。从图5中可以看出新模型计算的储层渗透率与岩心实验渗透率吻合度高，并且其吻合度高于核磁共振测井的Coates模型计算的储层渗透率与岩心实验渗透率的吻合度。该结果说明了新模型的实用性很好，并且计算精度高，有很好应用前景。

表2 3种模型计算渗透率误差分析

图5 Y井处理成果图

3 结 论

（1）泥质砂岩渗透率与岩石孔隙大小、结构、形状等诸多因素相关，渗透率计算新模型以φe（1－Swb）2／S2反映岩石孔隙结构，是对 Kozeny与Carman公式的修正，为砂岩油气藏渗透率测井计算提供了新思路。

（2）新模型揭示了泥质砂岩渗透率与孔隙度3次方成正比、与岩石颗粒比表面平方成反比、与单位体积和束缚水饱和度差的平方成正比的新认识。

（3）以岩心实测空气渗透率为基础，对比3种模型渗透率计算结果，新模型计算精度最高。

（4）以冀东油田×井区Y井为例，以新渗透率模型对Y井进行渗透率参数评价，结果表明新模型计算渗透率与岩心实验数据吻合度高，其精度高于核磁共振测井Coates模型计算的渗透率。新模型在泥质砂岩储层渗透率计算中有很强的适用性。

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