解三角形的学问

许志锋

解三角形就是在一个三角形的边、角及面积中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的学问，就是合理运用正、余弦定理并与三角恒等变换相结合的学问.在各地的高考试题中，解三角形的题目往往作为第一道解答题，用以检测同学们的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评： 解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 当p=，b=1时，求a，c的值.

（2） 若角B为锐角，求p的取值范围.

解析： （1） 由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评： 求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析： 如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评： 求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1） 已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2） 现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评： 作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.

解三角形就是在一个三角形的边、角及面积中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的学问，就是合理运用正、余弦定理并与三角恒等变换相结合的学问.在各地的高考试题中，解三角形的题目往往作为第一道解答题，用以检测同学们的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评： 解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 当p=，b=1时，求a，c的值.

（2） 若角B为锐角，求p的取值范围.

解析： （1） 由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评： 求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析： 如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评： 求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1） 已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2） 现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评： 作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.

解三角形就是在一个三角形的边、角及面积中，已知其中若干量去求解其他的量;解三角形的学问，就是合理运用正、余弦定理并与三角恒等变换相结合的学问.在各地的高考试题中，解三角形的题目往往作为第一道解答题，用以检测同学们的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.

解三角形的原理与公式

●正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）.这组公式表明同一个三角形的各边长与其对角的正弦值成正比.

●余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA等.这组公式精确量化了两边夹角是如何决定第三边的.

●其他三角公式：各组三角变换公式以及三角形三个内角和A+B+C=π、三边关系a+b>c等.

解三角形的注意事项

●合理运用正弦定理、余弦定理

例1 为了测量敌方两个阵地A，B之间的距离，在我方一侧选取C，D两点（A，B，C，D四点位于同一平面内），测得CD=a，∠ACB=75°，∠BCD=∠ADB=45°，∠ADC=30°，求AB.

解析：例1中的四边形问题可通过化为几个三角形中的问题来求解.含有AB边的三角形可选择△ADB，在该三角形中目前只知道∠ADB为45°，无法直接求出AB，但是可以先分别在△BCD，△ACD中用正弦定理求得AD，BD，然后再在△ADB中用余弦定理求出AB.

由已知可求得∠CAD=30°，∠CBD=60°，如图1所示.

在△BCD中，由正弦定理得：=，故BD=a;

在△ACD中，由正弦定理得：=，故AD=a;

在△ADB中，由余弦定理得：AB==

a.

点评：一般来说，已知条件中，“角多”则优先选择用正弦定理，“边多”则用余弦定理.当然，具体进行哪种选择还是应根据题目的情况先“预算”一下，许多题目需二者兼用.

●将正、余弦定理与三角变换相结合

例2 在△ABC中，cos（A-C）+cosB=，b2=ac，求B.

解析：在△ABC中，B=180°-（A+C），所以cosB=-cos（A+C），代入题中第一个等式，再通过用两角和与差的三角公式，可得到sinAsinC的值，再运用正弦定理将b2=ac转化为角的正弦的关系即可得解.

由cos（A-C）+cosB=可得cos（A-C）-cos（A+C）=，展开整理得sinAsinC=. 依据正弦定理，由b2=ac得sin2B=sinAsinC=，故sinB=（sinB>0）. 若B>，则cosB<0，与cos（A-C）+cosB=>1矛盾，所以B=.

点评：正、余弦定理反映的是同一三角形的三边与三角之间的“最纯粹”关系，其中不涉及角的和、差及倍数，一旦题目中出现角的和、差及倍数这类情形，就应考虑通过三角公式加以转化.

●将解三角形方法与代数、几何、向量方法等相结合

例3 在圆内接四边形ABCD中，AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，求AC.

解析：由几何知识可得B+D=π;但是，单独解△ABC，△ADC，则条件似乎既不足又过剩，“不足”是因为在每个三角形中，已知两边却不知夹角;“过剩”是因为条件B+D=π未能使用.要解决这种几个所求的量相互依存的题目，可考虑运用代数中的方程思想.

如图2所示，设AC=x.

在△ABC中，由余弦定理得cosB=;

在△ADC中，由余弦定理得cosD=;

又B=π-D，所以cosB+cosD=0，解得x=7.

点评： 解三角形问题是数学问题的一种，只要问题的情景适合某种数学思想方法，就应当突破思维的局限性，大胆运用包括代数、几何、向量、坐标法等各种方法.

综合应用

例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA+sinC=psinB（p∈R）且ac=b2.

（1） 当p=，b=1时，求a，c的值.

（2） 若角B为锐角，求p的取值范围.

解析： （1） 由正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb，再与ac=b2结合，解得：a=1，c=或a=，c=1.

（2） 因为a+c=pb，ac=b2，所以由余弦定理可得cosB====2p2-3，由0

点评： 求解例4（2）的基本思路就是通过余弦值的范围来确定角的范围.运用余弦定理需要知道边与边的关系，而用正弦定理将sinA+sinC=psinB转化为a+c=pb就使得所有条件均表达为边的关系.

再则，相当多的同学只用a2+c2>b2来确定cosB==2p2-3的范围，进而求出p的取值范围，但是忽视题中参数p的任意性可能导致cosB=2p2-3的值大于1，从而少了p<这个范围. 建议：时刻注意隐含条件，求解范围应进行等价变形;有“小于”就再想想有没有“大于”，必要时“前门后门都上锁”.

例5 在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若sin∠BAM=，则sin∠BAC= .

解析： 如图3所示，不妨设AC=1，BM=MC=m，∠BAC=α，∠MAC=β.由sin∠BAM=求得tan∠BAM=，则tan（α-β）===，解得m=.由勾股定理得AB==，故sin∠BAC===.

点评： 求解例5运用了代数方法，根据已知条件斜△ABM中的sin∠BAM=求∠BAM的正切值，并用两直角三角形的角度差（α-β）来表示∠BAM，这是如何想到的？

首先，图形中没有任何一个三角形单独可解，边角之间又相互关联，所以可运用方程思想.

其次，解直角三角形最容易，在直角三角形中只需要求得边与边的比值就可以得到正弦，故想到设AC=1，BM=MC=m，如此也可以让“M是BC的中点”这个条件“搭便车”用上.

第三，选择正切就不必用根式表达斜边，如果我们懂得“知弦即知切”的道理，就会自然而灵活地由条件sin∠BAM=想到求出tan∠BAM=！

例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c=，cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

（1） 求角C的大小.

（2） 若sinA=，求△ABC的面积.

解析：（1） 已知条件cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB的右边可简化为二倍角的正弦形式，左边可降幂加倍：-=sin2A-sin2B，整理得：cos2A-sin2A=cos2B-sin2B，即cos2A+=cos2B+，两角的余弦值相等，有以下两种情形：

若2A+=2kπ+2B+（k∈Z），则A=kπ+B，注意到a≠b，所以A≠B. 在△ABC中内角和不大于π，所以这种情况不可能存在;

若2A++2B+=2kπ（k∈Z），则A+B=kπ-，在△ABC中只有A+B=π-满足要求，故C=.

（2） 现有c=，C=，sinA=，由正弦定理=可得a==.知道a，c欲求面积，可先算出sinB.因为a<c，故A是锐角，cosA=，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=，所以S=acsinB=.

点评： 作为高考的第一道解答题，完整解答得满分是必须的.求解例6有两处关键：首先是三角变换，其次就是分类讨论.要做到解答完整无误，除了熟练掌握必备的知识而外，细节的观察和处理也至关重要.