数学软件在研究生数学建模实验中的应用

杜 辉 杨云峰 曾昭英 赵提财

（1.东北石油大学数学与统计学院，黑龙江 大庆163000；2.东北石油大学研究生院，黑龙江 大庆 163000）

在科技高速发展的今天，高精尖人才的培养是其强有力的后盾。而研究生阶段就是培养高精尖技术型人才的重要阶段。创新能力的培养是研究生阶段培养的重要能力之一。数学建模课程就是培养研究生创新实践能力的重要课程。只有理论是不够的，很多理论都是在实践的基础上得以应用和延伸，所以研究生数学建模实验就变得非常重要了。

既然是实验，就离不开计算机编程。计算机编程就离不开数学软件。在东北石油大学研究生数学建模实验中，主要应用的数学软件有Matlab、Lingo、R等软件，这些软件的学习与使用将理论与实际紧密的联系在了一起。本文将举例一些东北石油大学研究生数学建模实验实例，并应用相应的数学软件进行求解。

1 Matlab软件在数学建模实验中的应用

例1 一年生植物春季发芽，夏季开花，秋季产种，有一部分种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，剩下的种子虽然未发芽，但如果又能活过第二年冬天，则其中的一部分还能在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续，一年生植物只能活一年，假设种子最多能活过两个冬天，建立数学模型研究该植物的数量变化规律，以及它能一直繁殖下去的条件。

1.1 符号引入

xk——该一年生植物在第k年的数量；

c——每棵植物秋季产种的平均数，c>0;

a1——一岁的种子能在春季发芽的比例，0＜a1＜1;

a2——两岁的种子能在春季发芽的比例，0＜a2＜1;

b0——零岁的种子能活过冬天的比例，0＜b0＜1;

b1——一岁的种子能活过冬天的比例，0＜b1＜1;

b——种子能活过一个冬天的比例，0＜b＜1；

1.2 模型假设

假设 a1>a2；b0=b1=b；a1，a2，b，c 均为常数。

1.3 模型建立和求解

根据模型假设，列式得

x1=a1bcx0（1）

xk=a1bcxk-1+a2b(1-a1)bcxk-2,k=2,3… （2）

令 p=a1bc （3）

q=a2(1-a1)b2c （4）

（1）和（2）可以改写为

x1=px0（5）

xk=pxk-1+qxk-2,k=2,3… （6）

由二阶常系数线性齐次差分方程解法可得(3.6)的解为

通过分析可知一年生植物能一直繁殖下去的充分必要条件是

Matlab程序：

a1=0.5;a2=0.25;c=10;

bs=2/(sqrt(a1.*c).^2+4.*a2.*(1-a1).*c)+a1.*c);

b=bs+bs.*[.01,0,-.01]

p=a1.*c.*b;q=a2.*(1-a1).*c.*b.^2;

x=[100,100,100];x(2,：)=p.*x(1,：);n=20;

for k=2:n;

x(k+1,：)=p.*x(k,：)+q.*x(k-1,：);

disp(‘在b>b*,b=b*,b＜b*三种情况下一年生植物数量的演变’);

disp(‘年 b>b*b=b*b＜b*’);

disp[(0:n)’,round(x)];

命令窗口显示的计算结果为

bs=0.19089 b=0.1928 0.19089 0.18898

结果分析：（1）当b>b*时，一年生植物数量将无限增长；

（2）当b=b*时，一年生植物数量将趋于稳定值；

（3）当b＜b*时，一年生植物将濒于灭绝。

2 R软件在数学建模实验中的应用

把（3）、（4）代入（8）得

则一年生植物能一直繁殖下去的充分必要条件是

b*≤b＜1

1.4 Matlab 求解

取 a1=0.5,a2=0.25,c=10,由(10)计算临界值 b*,然后取 x0=100,分别在b>b*,b=b*和b＜b*三种不同情况下用循环语句计算一年生植物的数量在20年内的演变过程。

例2假定某电池厂宣称该厂生产的某种型号电池寿命的中位数为140A.h.为了检验该厂生产的电池是否符合其规定的标准，现从新近生产的一批电池中抽取20个随机样本，并对这20个电池的寿命进行了测试，其结果如下（单位：A.h）:

137.0 140.0 138.3 139.0 144.3 139.1 141.7 137.3 133.5 138.2

141.1 139.2 136.5 136.5 135.6 138.0 140.9 140.6 136.3 134.1

试用Wilcoxon符号秩检验分析该厂生产的电池是否符合其标准。

R程序：

>X＜-scan()

1:137.0 140.0 138.3 139.0 144.3 139.1 141.7 137.3 133.5 138.2

11:141.1 139.2 136.5 136.5 135.6 138.0 140.9 140.6 136.3 134.1

21:

Read 20 items

>Wilcox.test(X,mu=140,alternative= ”less”,exact=FALSE,correct=FALSE,conf.int=TRUE)

Wilcoxon signed rank test

data:X

V=34,p-value=0.00703

Alternative hypothesis:true mu is less than 140

95 percent confidence interval:

-Inf 139.2000

Sample estimates:

(pseudo)median

138.2000

结果分析：这里 V=34 是 Wilcoxon 统计量，P 值 0.007034＜0.05，拒绝原假设，即中位数达不到140A.h.

3 Lingo在数学建模实验中的应用

例3 分配甲、乙、丙、丁、戊去完成A,B,C,D,E五项任务，每人完成一项，每项任务只能由一个人去完成，五个人分别完成各项任务所需时间如下表所示，试作出任务分配使总时间最少。

表1

Lingo程序如下：

MODEL:

SETS:

WORKER/W1.W5/;

JOB/J1.J5/;

LINKS(WORKER,JOB):C,X;

ENDSETS

DATA:

C=

表2

ENDDATA

MIN=@SUM(LINKS:C*X);

@for(WORKER(I):@SUM(JOB(J):X(I,J))=1);

@for(JOB(J):@SUM(WORKER(I):X(I,J))=1);

@for(LINKS:@BIN(X));

END

求解得到五个变量x11,x25,x33,x42,x54等于1，其他变量等于0，代表甲完成任务A，乙完成任务E，以此类推。目标函数值为30。

4 结论

本文列举了将Matlab、R、Lingo应用于数学建模中的实例。数学建模实验不仅让学生们学到了很多课上学不到的东西，扩展了自身的理论知识，提高了计算机编程水平，同时也使得理论与应用紧密的结合在一起，理论得以实现。如何选择合适的教学模式，选择合适的实验题目将是今后研究的一个方向。

［1］章绍辉,编.数学建模[M].北京：科学出版社，2010.

［2］薛毅，陈立萍,编.R 统计建模与 R 软件[M].北京：清华大学出版社，2014.

［3］袁新生，邵大宏，郁时炼,编.LINGO 和 EXCEL在数学建模中的应用[M].北京：科学出版社，2007.