变力做功的多种求解方法

华峰

大家对于恒力做功问题都能灵活地利用公式顺利求解，然而对于变力做功问题求解常常会感到较困难.下面

介绍几种典型的常用的求解方法，以利于对此类问题正确处理.

一、微元法

此法适用于力的大小恒定，方向始终与速度同向或反向的力做功的求解.

例1力F=10 N作用于半径

r=1 m的转盘边缘上，其大小保持不变、方向始终保持在作用点处与圆盘边缘切线方向一致，则刚转动一周这个力F做的总功是多少？

解析因为力F的大小保持不变，方向始终与圆盘边缘的速度方向相同，因而可将转动一周的过程分为很多很短的一段一段，在每一段上都可以认为是恒力做功，再将各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：

W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.

二、平均值法

此法适用于力的方向不变，大小随位移匀速改变的力做功的求解.

例2用竖直向下压力将放置在水平面上的一弹簧（k=2×104N/m）缓慢匀速压缩了10cm，则外加压力对弹簧做功J.

解析因为弹簧的弹力F=kx，F的方向不变，而大小与x成正比，即F随着x均匀增大，所以此过程中力F的平均值为：F=12kx=12kL.故力F做的功为：

W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.

例3用锤击钉，木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉子时，锤子对钉子做的功相同.已知第一次击钉时，钉子进入木板1 cm，求第二次击钉时，钉子进入木板的深度.

解析由于木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板对钉子的阻力做的功.设f=kx，第二次击钉时，钉子进入木板的深度为x2，则有：

0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=

0.414（cm）[注：另一根不合题意，舍去].

三、转化法

当变力做功不易求解时，可通过转化为恒力做功顺利求解.

图1

例4如图1所示，一人用绳子提升质量为m的物体，从A点缓慢地移到B点，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.endprint

大家对于恒力做功问题都能灵活地利用公式顺利求解，然而对于变力做功问题求解常常会感到较困难.下面

介绍几种典型的常用的求解方法，以利于对此类问题正确处理.

一、微元法

此法适用于力的大小恒定，方向始终与速度同向或反向的力做功的求解.

例1力F=10 N作用于半径

r=1 m的转盘边缘上，其大小保持不变、方向始终保持在作用点处与圆盘边缘切线方向一致，则刚转动一周这个力F做的总功是多少？

解析因为力F的大小保持不变，方向始终与圆盘边缘的速度方向相同，因而可将转动一周的过程分为很多很短的一段一段，在每一段上都可以认为是恒力做功，再将各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：

W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.

二、平均值法

此法适用于力的方向不变，大小随位移匀速改变的力做功的求解.

例2用竖直向下压力将放置在水平面上的一弹簧（k=2×104N/m）缓慢匀速压缩了10cm，则外加压力对弹簧做功J.

解析因为弹簧的弹力F=kx，F的方向不变，而大小与x成正比，即F随着x均匀增大，所以此过程中力F的平均值为：F=12kx=12kL.故力F做的功为：

W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.

例3用锤击钉，木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉子时，锤子对钉子做的功相同.已知第一次击钉时，钉子进入木板1 cm，求第二次击钉时，钉子进入木板的深度.

解析由于木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板对钉子的阻力做的功.设f=kx，第二次击钉时，钉子进入木板的深度为x2，则有：

0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=

0.414（cm）[注：另一根不合题意，舍去].

三、转化法

当变力做功不易求解时，可通过转化为恒力做功顺利求解.

图1

例4如图1所示，一人用绳子提升质量为m的物体，从A点缓慢地移到B点，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.endprint

大家对于恒力做功问题都能灵活地利用公式顺利求解，然而对于变力做功问题求解常常会感到较困难.下面

介绍几种典型的常用的求解方法，以利于对此类问题正确处理.

一、微元法

此法适用于力的大小恒定，方向始终与速度同向或反向的力做功的求解.

例1力F=10 N作用于半径

r=1 m的转盘边缘上，其大小保持不变、方向始终保持在作用点处与圆盘边缘切线方向一致，则刚转动一周这个力F做的总功是多少？

解析因为力F的大小保持不变，方向始终与圆盘边缘的速度方向相同，因而可将转动一周的过程分为很多很短的一段一段，在每一段上都可以认为是恒力做功，再将各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：

W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.

二、平均值法

此法适用于力的方向不变，大小随位移匀速改变的力做功的求解.

例2用竖直向下压力将放置在水平面上的一弹簧（k=2×104N/m）缓慢匀速压缩了10cm，则外加压力对弹簧做功J.

解析因为弹簧的弹力F=kx，F的方向不变，而大小与x成正比，即F随着x均匀增大，所以此过程中力F的平均值为：F=12kx=12kL.故力F做的功为：

W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.

例3用锤击钉，木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉子时，锤子对钉子做的功相同.已知第一次击钉时，钉子进入木板1 cm，求第二次击钉时，钉子进入木板的深度.

解析由于木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板对钉子的阻力做的功.设f=kx，第二次击钉时，钉子进入木板的深度为x2，则有：

0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=

0.414（cm）[注：另一根不合题意，舍去].

三、转化法

当变力做功不易求解时，可通过转化为恒力做功顺利求解.

图1

例4如图1所示，一人用绳子提升质量为m的物体，从A点缓慢地移到B点，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.endprint