几个类似例题的不同积分方法

许志宏 张 涛

（日照职业技术学院公共教学部，山东 日照276800）

0 引言

不定积分是高职理工科学生学习高等数学的重要内容，熟练掌握不定积分的计算方法对学好微积分乃至整个高等数学起着至关重要的作用，同时不定积分的计算对思维的培养以及学生的所学专业课也有重要作用．面对不定积分中被积函数的细微差别，高职学生会感觉束手无策，不知该选择何种积分方法。笔者在多年的高等数学教学过程中发现对于一些特定的两个函数乘积的积分，学生总是掌握的不够好，不能很准确地找到合适的解题方法。如何帮助学生尽快掌握这一类不定积分计算方法呢？本文主要想经过对常见的两个不同类型的函数相乘的不定积分计算问题进行分析、研究、总结，旨在创造有效的学习途径，使学生尽快掌握基本的积分方法与技巧，对不定积分的计算方法有整体的掌握．

1 内容

1.1 用第一类换元积分法

当两个函数相乘时，特别是幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘时，注意到若幂函数的次数比另一个复杂函数的内函数的次数低一次时，该类型的不定积分可以考虑用第一类换元积分法（即凑微分法）来求解。

1.2 用分部积分法

当幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘时，注意到若幂函数的次数比另一个复杂函数的内函数的次数高时，该类型的不定积分可以考虑用分部积分法来求解。

该题用了一次分部积分法。

该题是在例4的基础上用了二次分部积分法。例6求

解：

该题是在例5的基础上用了三次分部积分法。

2 总结

通过上面的实例分析可知，幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘时，形如 则可以考虑用第一类换元积分法；形如

可以考虑用分部积分法。当然，不定积分的计算方法有很多种，笔者只是针对被积函数是幂函数与内函数也是幂函数的复合函数相乘这类情况做了分析研究与总结。我们要在掌握了不定积分的几种常用方法的基础上，抓住被积函数的特征，做到选择适当的积分方法，活学活用、及时总结分析，以便灵活运用不定积分的计算方法。

［1］刘贤军,等．高等数学[M]．青岛：中国海洋大学出版社，2009．

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