平面要素方向公差数学模型的建立

邱义臻，熊 焰，刘方方

（宿迁学院 机电工程系，江苏 宿迁 223800）

0 引言

为缩短产品设计周期、降低产品的成本、提高产品的质量和性能，增强市场竞争力与提升市场份额，必须实现CAD/ CAM 有效集成，利用计算机进行公差分析与综合。目前CAD 软件系统中，公差信息只能以文本/注解的形式存储在计算机中，不能利用计算机辅助公差分析与综合，阻碍了产品设计的自动化，成为CAD/CAM有效集成的瓶颈[1]。为实现计算机辅助公差分析与综合，必须在计算机中合理而有效表示机械零件（几何形体）的公差信息。机械零件的公差是控制目标几何要素在尺寸、形状、方向与位置偏离理想状态的程度，用数学表达式（数学模型）表示公差信息中每一个成员的含义，获得被测要素与基准要素之间的几何变动与形状变动的数值关系等，是公差分析、公差设计、公差检测，实现GAD/CAM 有效集成的基础。建立平面要素方向公差数学模型，对CAD 系统中包含公差信息的语义作出正确的解释，并使之具有工程语义，从而在CAD/CAM 集成中发挥重要作用。

1 平面要素的方向公差及方向公差带

平面要素方向公差是指实际平面要素相对于基准要素的实际方向对理想方向的允许变动量[2]，平面要素方向公差分为平行度、垂直度和倾斜度，在数学表述上，平行度、垂直度和倾斜度可统一看成是被测要素与基准要素的一种角度关系。对于平面要素而言，方向公差有被测平面要素相对于基准平面（面对面），被测平面相对于基准直线（线对线）两种形式，其方向公差带是距离为公差值t，且与基准要素间满足给定角度关系的两平行平面之间的区域。

2 公差坐标系的建立及平面要素的自由度

图1 坐标系、平面要素及平面要素的变动Fig.1 Coordinate system，plane feature and the changes of plane feature

公差坐标系是用来确定平面要素自由度方向，表示平面要素相对于公称位置在方向、位置上的变动情况。如图1 所示，坐标系应建立在平面要素的公称位置上，公差坐标系的原点与平面要素的中心重合，Z 轴为平面要素的固有方向，即同向自由度方向（法向），x、y 轴方向为基准约束目标自由度的方向。

机械零件的几何要素既具有类似刚体自由度特性，又与刚体的自由度不同，几何要素存在恒定度[3]，即自由度数量总是少于6 个（F=6—n，式中n 是恒定度），所谓恒定度就是几何要素沿某方向运动（平动或转动）时不产生新的实体。平面要素具有1 个平移自由度（Tz）和两个转动自由度（Rx、Ry）。

3 平面要素基于自由度变动的数学表示

机械零件是由构成其几何特征的若干点、线、面等几何要素构成。几何要素沿平移自由度方向上的位置变动引起尺寸偏差；沿旋转自由度上的位置变动，引起角度偏差；而微量变动可引起平行度、垂直度和倾斜度等方向偏差的改变[4]，因此，平面要素的变动方程均可以通过其自由度变动表示出来, 因此可以将各自的自由度变动定义为模型的设计变量。

如图1（a）所示，公称平面要素的方程为：

如图1（b）所示，在平面要素3 个自由度Z、Rx、Ry方面分别给定一变动dz、dα、dβ，则其的变动方程为：

写成平面要素的一般表示形式：

式中：A=dβ，B=dα，C=-1，D=dz

4 平面要素方向公差数学模型

机械零件上平面要素的方向公差是指被测平面要素相对于基准的实际方向对理想方向的允许变动量，因此，建立平面要素方向公差的数学模型，就是用数学的方式来描述和解释公差信息中成员的含义，一是平面要素公差域的形成与表示；二是变动后平面要素的形成与表示。

4.1 平面要素平行度公差的数学模型

平面要素平行度公差表示机械零件上被测实际平面要素相对于基准要素保持距离的状况，如图2 所示，图2（a）为被测平面要素相对于基准平面（面对面）平行度公差要求，图2（c）为被测平面要素相对于基准直线（面对线）平行度公差要求，它们的公差区域分别如图2（b）、（d）所示。

图2 平面要素的平行度要求及公差区域Fig.2 Parallelism requirements of plane feature and their tolerance zone

对于图2（a）、图2（b）所示（被测平面的宽度为l），面对面平行度公差要求，其公差带为间距等于公差值t 两平行平面所限定的区域，其位置是浮动的，因此，可以很方便地确定被测平面要素的变动范围，即得出被测平面要素平行度公差的数学模型为：

被测平面要素的变动范围：

被测平面要素的约束范围：

对于图2（c）、（d）所示（被测平面的宽度为l），面对线平行度公差要求，其公差带为间距等于公差值t 两平行平面所限定的区域，其位置是浮动的，同样的方法，可以很方便的得出被测平面要素平行度公差的数学模型：

被测平面要素的变动范围：

被测平面要素的约束范围：

求出基于自由度被测平面要素的变动和约束以后，按照一定的分布规律取值，即可求得机械零件上被测平面要素的变动情况。

4.2 平面要素垂直度公差的数学模型

平面要素垂直度公差表示机械零件上被测实际平面要素相对于基准要素保持90°夹角的状况，如图3 所示，图3（a）为被测平面要素相对于基准直线（面对线）垂直度公差要求，图3（c）为被测平面要素相对于基准平面（面对面）垂直度公差要求，它们的公差区域分别如图2（b）、（d）所示。

图3 平面要素的垂直度要求及公差区域Fig.3 Vertical requirements of plane feature and their tolerance zone

对于图3（a）、（b）所示（被测平面的直径为d），面对线垂直度公差要求，其公差带为间距等于公差值t 两平行平面所限定的区域，其位置是浮动的，由于公差区域相同，根据上节相同的方法，得出被测平面要素垂直度公差的数学模型为：

被测平面要素的变动范围：

被测平面要素的约束范围：

对于图3（c）、（d）所示（被测平面的宽度为l），面对线垂直度公差要求，其公差带为间距等于公差值t 两平行平面所限定的区域，其位置是浮动的，由于公差区域相同，根据上节相同的方法，得出被测平面要素垂直度公差的数学模型为：被测平面要素的变动范围：

被测平面要素的约束范围：

4.3 平面要素倾斜度公差的数学模型

平面要素倾斜度度公差表示机械零件上被测实际平面要素，相对于基准要素任意给定理想角度的正确状况，如图4 所示，图4（a）为被测平面要素相对于基准平面（面对面）倾斜度公差要求，其公差区域分别如图4（b）所示。

图4 平面要素的倾斜度要求及公差区域Fig.4 Slope requirements of plane feature and their tolerance zone

由图4 可知，由于被作用对象的平面与基准平面之间存在一定的角度关系，因此被作用平面的实际变动范围变小，即被作用平面的实际变动范围为变为tsinα。因此，可以依据上节相同的方法，推导出倾斜度公差的变动数学模型，这里不再赘述。

5 结论

公差信息是CAD/ CAM 集成的必要信息之一，在现行国家标准中采用图例及文字说明的形式来定义公差，不适于计算机的表达、处理以及在各个阶段的数据传递。在分析平面要素的方向公差及方向公差带的基础，以自由度变动为模型参数，系统地研究了被测平面要素的平行度、垂直度、倾斜度等公差数学模型。由此建立的数学模型完整、准确地表示出了平面要素方向公差的工程语义，便于公差的计算机处理，有利于CAD/ CAM有效集成、自动检测与评定技术的发展。

[1]张马彪，叶晓平，刘玉生，等. 基于自由度变动的直线尺寸公差数学模型[J].工程设计学报，2009，6.

[2]甘永立.几何量公差与检测[M].上海：上海科学技术出版社，2010.

[3]吴玉光，张根源. 基于几何要素控制点变动的公差数学模型[J].机械工程学报，2013，3.

[4]方东阳，张琳娜. 基于自由度变动的定向公差计算方法分析[J].机床与液压，2013，1.