众里寻他千百度，最值却在顶点处——2015年福州卷第26题的思路突破与解后反思

☉江苏省张家港市鹿苑中学 吴礼红

众里寻他千百度，最值却在顶点处
——2015年福州卷第26题的思路突破与解后反思

☉江苏省张家港市鹿苑中学 吴礼红

由于中考数学卷承载了区分选拔功能，而作为全卷最后一题往往倍受关注，本文选取2015年福建福州卷第26题，尝试从不同角度突破思路，并解后反思，与同行研讨．

一、试题解析

二、解后反思

从上面的求解过程中，我们注意到数形结合的分析帮助我们顺利解决了第（2）问，而且从数和形的不同角度也加深了我们对第（3）①问的理解，然而第（3）②问的处理还是略显晦涩，只是从数的角度给出最值解释，而且凑巧的是，两条线段和、积的最值都在抛物线顶点处获得，这是一种巧合还是一种必然呢？以下我们再从“形”的角度反思第（3）②问，帮助大家直观理解这种巧合背后的必然或道理：

受到第（3）①问中思路的启发，如图6，我们仍然可以把PD·DQ转化为PD·DQ′，以PQ′为直径作圆交直线AC于点N，根据圆周角定理，可发现∠PNQ′＝90°，进而在Rt△PNQ′中，由相似三角形性质容易得出ND2＝PD·DQ′（事实上，这也是构造了所谓的“射影定理”的基本图形）.要想获得PD·DQ′的最大值，本质上只要ND最大即

三、教学导向之思

中考关键位置之处的综合选拔题通常还会对地区的教学导向有着相应的提醒.事实上，第26题的第（2）问三角形面积比，在底边相同的情况下，两个三角形的面积比等于它们的高之比，这些都是学生应该掌握的基础知识和基本技能.最后一问关注学生的数学思维层次，关注初高中知识的衔接，重点考查学生知识的灵活运用、逻辑推理、建模思想等，有一定的区分度；试题的解题途径多样，兼顾擅长几何方式与代数方式解题的学生，为一线教师提供了试题研究及复习教学的良好素材.试题内涵丰富，解法多样，值得回味.

可以发现，命题组重在引导广大师生关注双基教学，然后才是关注学生的思维层次，而且预设了解题的多样性，满足不同思维风格学生的需求，体现了公平性.这也提醒教师，在数学教学中，特别是解题教学中，不能满足于所谓获取答案，而应该引导学生从不同角度获取答案，并思辨不同解法之间的异同之处、和谐之处，长期坚持这样做，一方面对于提高学生解题能力是有帮助的，另一方面也可使学生在中考考场上能对较难考题进行转化，并兼顾数形结合思想，力求在较短时间内贯通思路，这也是向学生传递波利亚在《怎样解题》所倡导的“没有一个问题能被十分完美的解决，总能留下一些什么让我们继续思考”.

1.中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］．北京：北京师范大学出版社，2012．

2.罗增儒．数学解题学引论［M］．西安：陕西师范大学出版社，2008．

3.【美】G.波利亚，著．怎样解题［M］．阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.Z