高考试题中的图像斜率问题

徐定邦

（扬州市新华中学 江苏 扬州 225009）

物理图像不仅是一种纯粹的数学表达，而且包含着丰富的内容，在近几年的全国各地高考题中图像题的比例越来越大，2014年各地高考物理试题，除了轨迹图和示意图外，每一份试卷中至少会有两道关于图像的考查题.

清晰直观的图像承载了物理现象的本质，学生对于图像的学习，要能够做到细致地读图、规范地作图和恰当地用图，无论哪方面，都要从点、线、斜率、面积和截距开始认识.而对物理图像斜率的理解也大有文章可做，今年全国高考物理试卷，几乎每份试卷都有一条与斜率有关的图像问题，如表1.斜率虽是数学概念，但不能只从数学的角度来看待物理问题，首先我们要明白数学图像斜率和物理图像斜率的联系和区别.

表1 与斜率有关的图像问题的试卷统计

1 数学图像斜率和物理图像斜率

斜率表示平面直角坐标系中的一条直线对横轴的倾斜程度，通常用直线与横轴的夹角α的正切来表示，即k＝tanα，数学上求图像斜率时，可以用量角器量图线与横轴间夹角的方法计算斜率，物理上用这个方法却不一定正确.

【例1】（2 0 1 2年高考安徽卷第2 2题）质量为0.1kg的弹性球从空中某高度由静止开始下落，该下落过程对应的v－t图像如图1所示.球与水平地面相碰后离开地面时的速度大小为碰撞前的设球受到的空气阻力大小恒为f，取g＝10m／s2，求：

（1）弹性球受到的空气阻力f的大小；

（2）弹性球第一次碰撞后反弹的高度h.

图1

解析：第（1）问要根据v－t图像的斜率求加速度，用量角器量出图线和横轴的夹角为30°，用k＝tanα求出加速度约为0.6m／s2，而用a＝求出的结果是8m／s2，为什么会出现两个不同的答案？

在数学上，画坐标系时，x轴和y轴上的单位长度是相等的，坐标原点是共用的，直线y＝kx的斜率就是k＝tanα；而在物理图像中两坐标轴表示不同的物理量，其单位长度（如题中的1m／s和1s的长度）不一定画的相等，虽然y＝kt和y＝kx形式上一样，但在v－t图像上纵轴和横轴单位长度画得不相等，或单位长度相等，但不是同一单位制，或坐标原点不共用，则与tanα便不相等，即a≠tanα［1］.

同样，在x－t，F－q，U－I 等图像中，也是如此，为了避免在求物理图像斜率时不该有的失误，可以用一般公式k＝求斜率.

2 直线斜率和曲线斜率

在物理学中，凡是成正比关系和一次线性关系的物理量之间的关系图像，都可用直线来描述，此时切线斜率、割线的斜率和图线上某一点与原点连线的斜率是一样的.

匀速直线运动的x－t图像的斜率表示速度的大小；匀变速直线运动的v－t图像的斜率表示加速度的大小；电荷在匀强电场中受到的电场力F与电荷量q关系的F－q图像的斜率表示电场强度的大小；根据部分电路欧姆定律公式U＝IR，画出的U－I图像的斜率表示电阻R的大小；根据闭合电路欧姆定律U＝E－Ir，画出的U－I图像的斜率的绝对值表示电源内阻的大小，等等［2］.

而对于非线性关系，画成的图像是曲线，曲线上某一点切线的斜率也具有某种特定的物理意义.

【例2】（2013年高考课标卷Ⅰ第19题）如图2，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位置 －时间（x－t）图像.由图可知

A.在时刻t1，a车追上b车

B.在时刻t2，a与b两车运动方向相反

C.在t1到t2这段时间内，b车的速率先减少后增加

D.在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车的大

图2

解析：从图像可以看出，直线a斜率不变，说明汽车a做匀速直线运动.曲线b上某点的切线的斜率先变小后变大，说明汽车b做变速运动，速率先减小后增大，应选C；因a，b车分别在平直公路上行驶，曲线斜率的正负表示运动的方向与x轴正向相同或相反.在时刻t2，直线a的斜率为正，a车沿x轴正向行驶，曲线b的斜率为负，b车反方向行驶，所以a与b两车运动方向相反，应选B.

那么，割线的斜率和图像上某点到原点连线的斜率表示什么呢？

如图3（a）所示，直线AB是曲线AB的割线，直线AB的斜率表示Δt时间内的平均加速度，同样，将B点和原点O连起来的直线的斜率表示Δt′时间内的平均加速度.

图3

而有时某点切线的斜率是没有意义的，如图3（b）所示，在U－I图像中，A点的切线的斜率是A点所对应的电阻吗？A点的切线的斜率是，这显然不对，给导体一个瞬时电压U，就会有一个瞬时电流I，不需要电压、电流的变化过程，A点的电阻不能由求，而直接由来求，就是A点与O点连线的斜率大小［3］.

学生对直线的斜率的理解不会有多大的困难，曲线上某点切线的斜率、割线的斜率和某点到原点连线的斜率有时可能区分不清，教师在教学中要注意引导.

3 斜率的正和负

在数学图像的平面直角坐标系中，原点将纵轴和横轴分界为正负，正值大于零，负值小于零，正负只是表示大小.在物理图像的平面直角坐标系中，原点也将纵轴和横轴分界为正负，这里的正负不是简单的大小关系，而是由物理量决定其意义.当斜率表示的物理量是矢量时，正负表示方向；当斜率表示的物理量是标量时，正负表示相对于参考量（一般为零）的变化，这时只取数值大小.

【例3】（2014年高考天津卷第1题）质点做直线运动的速度 －时间图像如图4所示，该质点

A.在第1s末速度方向发生了改变

B.在第2s末加速度方向发生了改变

C.在前2s内发生的位移为零

D.第3s末和第5s的位置相同

图4

解析：第2s到第3s这段，从数学角度看，斜率为负，该段图像表示的是减函数，有些同学认为质点在做减速运动；但从物理角度分析，斜率的正负和纵坐标的正负都表示的是方向的不同.由图看出，该段的速度为负值，斜率（加速度）也负值，加速度方向与速度方向相同，说明物体做反方向的加速运动.

可见，在分析题目的时候，要区分清楚斜率的正负意义.特别是物理量是矢量时，如以上讨论的速度，在负的方向上绝对值的增加，并不表示速度越来越小.

在本题中，曲线与横轴构成的面积表示质点的位置，横轴上方的面积为正，下方的面积为负，某一时刻质点的位置就是此前时间内面积的代数和，第3s末和第5s之前面积的代数和相同，说明这两个时刻具有相同的位置，故选D.

4 妙用斜率解决问题

有时高考图像题考的知识点比较隐蔽，无从下手，这时可以从斜率入手，图像的斜率是分析、处理物理问题的一种重要工具，它可以使复杂问题简单化、清晰化.

【例4】（2014年高考重庆卷第5题）以不同初速度将两个物体同时竖直向上抛出并开始计时，一个物体所受空气阻力可忽略，另一个物体所受空气阻力大小与物体速率成正比.下列用虚线和实线描述两物体运动的v－t图像可能正确的是

图5

考生看到这道题后，通常先根据运动情况画运动过程草图，再受力分析，根据牛顿第二定律列式求解.其实只要想一想，速度为零时，两个物体在最高点，都只受重力，加速度都为g，在v－t图像中，此时图线与横轴的交点的切线的斜率相等，也就是这两根切线相互平行，很方便地就能选出答案，应选D.

用斜率解决物理问题，关键是要理解、掌握图像斜率的特点和实质，明确它与对应物理量之间的关系和规律.教师在教学中要让学生体会到图像斜率是解决物理问题的重要工具，学会用图像斜率解决问题，可以达到事半功倍的效果.

1 彭德劲.高中物理典型图像中斜率的再认识.湖南中学物理，2011（4）

2 喻世田.图像的斜率在高中物理教学中的应用.物理教学探讨，2008（2）

3 张芳华.对物理图像中斜率问题的几点释疑.考试周刊，2011（41）