基于可能点的TOPSIS模糊多属性决策方法

彭 旭，韩 冰，陈华友

(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)



基于可能点的TOPSIS模糊多属性决策方法

彭 旭，韩 冰，陈华友

(安徽大学 数学科学学院,安徽 合肥 230601)

受定积分思想的启发，提出了一种新的基于可能点的两个三角模糊数之间差异度量函数的概念，证明了差异度量函数满足的性质，并指出其实质为一种距离。基于该距离，将其运用到TOPSIS模糊多属性决策方法中，分别讨论了属性权重已知和未知情形下的多属性决策问题。通过算例验证了该方法的有效性和计算的简便性。

三角模糊数；理想点；可能点；差异度量函数

决策分析一直是国内外学者研究的热点话题，决策模型和方法也被广泛应用到投资决策、方案择优、经济综合效用评估、组合预测等多个领域[1-5]。随着社会的日益复杂化，传统的实数多属性决策已经不能很好地描述当前的决策环境，模糊多属性决策，尤其是带三角模糊数的多属性决策越来越受到国内外学者的关注，文献[6-7]所取距离为两个三角模糊数的3个端点之差的绝对值的最大值。文献[8]将三角模糊数的3个端点同等看待，赋以相同的权重，再利用三维空间的加权欧氏距离作为其度量。文献[9]在文献[8]思想上引入了端点间交叉乘积的影响。文献[10]采用汉明距离。文献[11]在3个端点之差绝对值的简单平均基础上引入了未知度的思想。文献[12]在三角模糊数截集上添加中心点得到三参数区间数，再利用定积分思想使得距离能够更加完整地体现两个三角模糊数的差别。

然而，目前存在的方法并不能完整地体现两个三角模糊数之间的差别，并且部分方法的前提是对称三角模糊数，笔者在已有研究的基础上，受定积分思想的启发，将三角模糊数的隶属度当作被积函数处理，提出了一种基于可能点的两个三角模糊数之间差异度量函数的概念，证明了差异度量函数满足的性质，并指出其实质为一种三角模糊数之间的新距离。该距离不局限对称三角模糊数，更细致地体现了各端点的加权情况，同时端点间的交叉影响也得以体现，在可能点的基础上引入积分的思想使得所定义的距离能更完整地表示两个三角模糊数之间的差别，且计算过程较为简便。笔者将所定义的距离运用到TOPSIS方法中，并提供了一种权重确定方法，分别讨论了属性权重已知和属性权重未知情形下的带三角模糊数多属性决策问题。

1 三角模糊数差异度量函数

(1)

定义2 令X为一个非空集合，映射d:X×X→R，如果对任意x,y,z∈X都满足：①非负性，即 d(x,y)≥0，且d(x,y)=0，当且仅当x=y；②对称性，即d(x,y)=d(y,x)；③三角不等式，即d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)；则称d为集合X的一个距离，称X为一个对于度量d而言的度量空间。

定义3[14]令I=[a,b]，若a

若将隶属度函数看作被积函数，则可定义如下三角模糊数之间的差异度量函数：

(3)

2 模糊数差异度量函数的性质

(4)

引理1 设a,b,c,d,e,f∈R，则有：

(5)

证明：(1)由式(2)可知：

(6)

(3)为便于计算，记：

(7)

(8)

(9)

由a1、a2、a3的定义，结合命题1、式(7)和式(8)可得：

a1+a2=2(x1-y1)，a2+a3=2(x3-y3)，

a2=x2-y2

(10)

于是，式(6)可简化为：

(11)

同理可得：

(12)

显然有：

(13)

由式(11)可知：

(14)

结合式(11)和式(12)知：

把式(14)和式(15)代入式(13)，并结合式(5)可得：

(16)

根据定义3和定理1显然可得定理2：

(aM(1-θ)+aRθ)]dθ

(17)

类似于命题1，由式(17)可计算得到：

(18)

3 TOPSIS模糊多属性决策方法

对于效益型指标：

(19)

对于成本型指标：

(20)

(21)

(22)

3.1 属性权重已知且为三角模糊数的情形

将其归一化处理得到：

(23)

(24)

(25)

定义7[18]令：

(26)

则称ci为备选方案xi的贴近度。显然贴近度ci越大，表示对应的备选方案xi越优。

3.2 属性权重完全未知的情形

当属性权重未给出时，备选方案离负理想方案越远越好，故可用各个方案在某个属性下的属性值与负理想方案距离之和来体现该属性的重要程度。设权重向量为w=(w1,w2,…,wn)，令：

(27)

式(24)和式(25)计算各备选方案到正理想方案和负理想方案的加权距离；⑤利用式(26)计算各备选方案的贴近度，并按贴近度的大小对备选方案进行排序。

4 算例分析

根据式(21)可知正理想方案为：

根据式(22)可知负理想方案为：

4.1 属性权重已知且为三角模糊数的情形

将其归一化得：

w=(0.158,0.105,0.263,0.105,0.211,0.158)

根据式(24)和式(25)计算各候选人属性到正理想方案和负正理想方案的加权距离：

根据式(26)计算各候选人的贴近度：c1=0.606 4，c2=0.768 2，c3=0.440 5，c4=0.307 8，c5=0.499 9。显然有：c2>c1>c5>c3>c4，则最佳候选人为x2。

由以上分析可知，笔者方法得出的候选人排序结果为x2>x1>x5>x3>x4，就最佳候选人而言，笔者方法所得结果与文献[6]和文献[15]一致，而与文献[6]不完全一致。产生这种差异的原因主要在于计算两个三角模糊数之间距离时所用的公式不一样，笔者方法充分利用了三角模糊数的隶属度函数，相对文献[6]直接采用3个端点之差的绝对值中的最大者，能够充分体现两个三角模糊数之间的平均差异。从计算角度，笔者方法的计算过程较为简单。

4.2 属性权重完全未知且权重为实数的情形

根据式(27)计算各属性的权重：

w=(0.165,0.173,0.162,0.158,0.158,0.184)

根据式(24)和式(25)计算各候选人属性到正理想方案和负理想方案的加权距离：

根据式(26)计算各候选人的贴近度：c1=0.627 1，c2=0.723 2，c3=0.403 4，c4=0.355 9，c5=0.457 1；显然有c2>c1>c5>c3>c4,则最佳候选人也为x2。

5 结论

笔者基于定积分思想，将三角模糊数的隶属度函数看作被积函数，提出了一种基于可能点的三角模糊数之间的距离，并将其运用到TOPSIS方法中，分别对属性权重已知和属性权重完全未知的带三角模糊数的多属性决策问题进行了讨论，算例验证了笔者方法的有效性，同时也体现了该方法较以前的方法在一定程度上降低了计算量。此外，该思路也可作为三角模糊数的一种去模糊化方法，并且能够更好地处理非对称三角模糊数，还可将该思路运用到梯形模糊数信息的多目属性决策中。

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PENG Xu: Postgraduate; School of Mathematical Science, Anhui University, Hefei 230601, China.

[编辑：王志全]

TOPSIS Method for Fuzzy Multi-attribution Decision-making Based on Possible Points

PENGXu,HANBing,CHENHuayou

Motivated by the idea of definite integral, a novel concept of difference metric function between triangular fuzzy numbers was proposed based on possible points. The properties of difference metric function were proven. And it was pointed out that it actually was a kind of distance. It was applied to fuzzy TOPSIS method for multi-attribution decision-making based on this distance under the cases of known weights and unknown weights, respectively. Finally, a practical example was illustrated to show that the method has effectiveness and simple calculation.

triangular fuzzy number; ideal point; possible point; difference metric function

2015-05-14.

彭旭(1992-)，男，湖南衡阳人，安徽大学数学科学学院硕士研究生.

国家自然科学基金资助项目(71371011，71301001);教育部高等学校博士点基金资助项目(20123401110001).

2095-3852(2015)06-0761-05

A

O22

10.3963/j.issn.2095-3852.2015.06.022