考虑纵向滑移的组合梁随机有限元可靠度分析

贾布裕, 余晓琳, 颜全胜

(华南理工大学 土木与交通学院, 广东 广州 510640)

考虑纵向滑移的组合梁随机有限元可靠度分析

贾布裕, 余晓琳, 颜全胜

(华南理工大学 土木与交通学院, 广东 广州 510640)

摘要：针对钢-混组合梁构造复杂、材料多样、不确定性强的特点,从随机不确定性的角度来研究钢-混组合梁，基于Newmark几何模型,将钢-混组合梁的混凝土板、钢梁以及剪力连接件作为整体单元考虑,通过采用T.L列式增量法,提出并推导了考虑纵向滑移效应的非线性组合梁单元模型。结合直接微分法,对组合梁的结构响应梯度进行了计算分析；并由FORM法计算得到可靠度指标,对钢-混组合梁算例进行了随机有限元可靠度分析。计算结果表明：在实际工程中,并不需要完全刚性连接来保证结构的可靠性；在保证安全方面,考虑几何非线性来计算结构的可靠度是有必要的。

关键词：钢-混组合梁；纵向滑移；非线性组合梁单元；直接微分法；随机有限元；可靠度分析；几何非线性

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20151104.1629.002.html

网络出版日期：2015-11-04.

余晓琳(1978-), 女, 副教授.

近二三十年来,随着钢-混组合结构在工程领域的广泛应用,学者们开展了各种关于钢-混组合梁的研究工作,取得了丰富的成果,主要集中在以下几个方面：非线性分析[1-2]、纵向滑移效应[3-7]、桥面板长期时变效应[8]、剪力连接件抗剪[9]以及有限元单元模拟[3 ,10]等。但以上的研究都局限于确定性的结构分析,对钢-混组合结构的不确定性分析,如结构随机性分析则鲜有人涉及。结构随机性包括结构材料本身物理性质以及几何特性的随机不确定性和外界对其施加作用的随机不确定性。钢-混组合梁涉及多种材料,单元构造复杂,随机不确定性因素较多,如何将钢-混组合梁确定性结构的计算分析手段和用于分析随机性的可靠度分析方法结合起来,对将钢-混组合梁进行随机有限元可靠度分析,是目前研究的难点之一。本文以推导的考虑纵向滑移效应的非线性组合梁单元模型为基础,采用直接微分法,对钢-混组合梁进行随机有限元可靠度分析,并对数值算例进行了计算分析。

1有限元模型

1.1　几何位移模式

如图1所示的典型的钢-混组合梁截面,顶板是混凝土桥面板,下托梁是工字钢梁,两者通过剪力连接件相连。图中坐标x轴为顺桥向,z轴为横桥向,y轴为竖向。计算采用如下基本假定：

1) 横截面对称于yox平面；2) 不考虑组合梁的竖向掀起(即桥面板和钢主梁的竖向挠度一致)；3) 忽略剪切变形影响；4) 剪力连接件沿梁均匀分布。

由于不考虑组合梁的竖向掀起影响,钢主梁和桥面板的竖向挠度可用同一个竖向位移表示。

图1　几何模型以及单元位移示意图Fig.1　Geometric model and element displacements

组合单元t时刻桥面板和钢主梁截面上任一点的位移和位移增量可表示为

(1)

组合梁t时刻纵向滑移位移以及增量的表达式为

(2)

其中,h=ys-yc,值得注意的是,式(2)适合于描述几何线性问题,但从工程实践运用角度来看,桥面板和钢主梁之间的滑移变形(比如转动)被看作为是有限的,所以式(2)也适合用于描述组合梁几何非线性的纵向滑移位移[5]。

1.2　单元模式

将组合梁沿轴向进行一维离散,单元模式并没有采用常规的8自由度法(两端节点各4自由度),因为若采取8自由度法,则u的形函数的插值为一次多项式,而v的形函数的插值为三次多项式(v′为二次), 就会发生“滑移锁定”问题[3]。为避免此类问题的发生, 可采用增加内置自由度的方法。采取在单元内部u位移量增置2自由度的方法,最后得到了10自由度的单元模式(如图2所示)。t时刻单元节点位移向量以及节点位移增量向量为

组合梁的位移场为{uc,us,v},则t时刻单元内的位移和增量通过形函数可表示为

其中,形函数N为

各个构件格林应变增量可表示为

(3)

由虚功原理结合基于T.L列式增量法得到平衡方程：

(4)

图2　单元节点自由度示意图Fig.2　Element nodal degrees of freedom

2组合梁结构随机有限元分析

在有限元分析过程中,首先由控制方程中得到主要反应量,如单元节点位移反应量,在得到主要反应量后,单元应变或应力即可从主要反应量通过显式的表达式得到,而主要反应量也是基本随机变量的函数,所以可将基于随机有限元的极限状态方程G写为主要反应量d和基本随机变量θ的函数：

(5)

(6)

(7)

式中:K为切线刚度矩阵。由式(5)可得极限状态方程函数G对基本变量θ的梯度计算公式：

(8)

接着计算标准正态空间极限状态函数G(u)的梯度向量：

式中:Jθ,u表示Nataf分布对独立标准正态分布的Jacobi矩阵,θg则由求得,其中的和可直接通过功能函数形式获得,而可通过式(7)计算得到的结构主要反应量d对任一随机参数θ的梯度值集合向量获得。最后求得uG后,采用改进HL-RF迭代法,由FORM法计算得到一次可靠度指标β和设计试验点u*。

为了避免“滑移锁定”的发生,本文在单元内部增置了内部节点自由度,而在有限元求解过程中,需要通过静力凝聚法将内部节点的抵抗内力集合到结构抵抗力。静力凝聚法通常用于有内部节点的单元有限元求解,其目的是为了缩减有限元系统方程求解规模,根据静力凝聚法,可知结构的控制平衡方程为

(9)

进行静力凝聚法后式(9)可等效写为

通过成功救治的案例，我们回顾本例的治疗经过，复习相关文献资料，我们认为，急性化脓性中耳炎A族链球菌感染合并颅内感染，需要多学科合作，由于患者多伴有基础病，基础病的治疗应给以足够重视；一旦出现颅内并发症，应当及时行中耳乳突病灶的清除及术腔引流；抗感染治疗联合用药，根据药敏试验，选择敏感的，能透过血脑屏障及的抗生素，静脉给药，疗程足够。

(10)

(11)

式(11)两边对di求偏导 (固定随机变量θ)：

(12)

将式(12)对随机变量θ进行偏导,可得

(13)

同样式(11)两边对随机变量θ求偏导有

(14)

(15)

结合式(13)～(15),整理可得

(16)

假设整个单元处于弹性,而Pint为上文推导的单元内力,其表达式为

(17)

式中：BLc、BLs为格林应变增量的线性表示,BN为格林应变增量的非线性表示,Nf为滑移增量,式(17) 左右两边对随机变量θ进行求偏导,最后整理可得

在此暂不考虑节点坐标的随机性,只先考虑随机变量θ为材料参数,按类似前节的推导方法,可得

式中：F(x,θ)为根据上文所推导的组合梁单元节点截面力,即

式中：fc(x,θ)为上层混凝土轴向力,fs(x,θ)为下层钢主梁轴向力,Mcs(x,θ)为整个组合截面的弯矩,ω(x,θ)为连接件单位长度剪力,而以上各项需要通过截面积分得到,由于d固定条件等价于ε固定条件,则最后可以得到基于截面层次的梯度表达式：

上述两式右边项的条件求导以及连接件单位长度剪力ω(x,θ)的条件求导的计算需要借助于材料层次的梯度分析。材料应力对任一随机变量θ进行偏导,可得

3数值算例分析

根据上述方法,采用C++语言以及Matlab程序,结合自编的组合梁确定性有限元程序编制了适用于组合结构的随机有限元分析程序,并对2个组合梁算例进行了随机有限元的可靠度计算分析。

3.1　简支组合梁算例

如图3所示的简支组合梁,在上层构件上作用着均布荷载,并在上下2层中心沿纵向方向分别作用一对大小相等方向相反的集中力。上下2种材料均为线弹性,上层构件的弹模为12 GPa,下层构件的弹模为8 GPa,连接件的刚度通过定义一个无量纲刚度系数αL来表示：

式中：L为结构长度,k为连接件刚度,E1和E2、A1和A2、I1和I2分别为上下2种构件的弹模,面积以及截面惯性矩、h为沿截面高度上下2个构件质心之间的距离。选取上下2个构件的面积、惯性矩、弹模和连接件的连接刚度以及作用在上层结构的均布荷载作为随机变量,随机变量的特征如表1所示。

表1　随机变量特征表Table 1　Characteristics of structural random variables

为了分析几何非线性以及连接件刚度对可靠度的影响,对几何线性、几何非线性以及5种连接件刚度工况下的结构可靠度进行了计算分析,计算结果见表2和图4。

表2　多种工况下的可靠度结果.Table 2　Reliability results of different conditions

图4　考虑几何线性、非线性及不同连接刚度的可靠度结果Fig.4　Reliability results of geometric linear, non-linear and different connection stiffness

从表2以及图4中可知：几何线性工况下的可靠度明显比几何非线性工况下的可靠度高,所以在保证安全方面,考虑结构的几何非线性来计算结构的可靠度是有必要的；无论是几何线性还是几何非线性,结构的可靠度随着连接件刚度的变大而迅速增大,但当连接件的刚度达到一定数值时,连接件刚度的增加对结构可靠度的增加影响甚小,换言之,只要连接件的刚度达到一定程度,就可以保证达到和完全刚性连接组合结构基本一致的可靠度。所以在实际工程,并不需要完全刚性连接来保证结构的可靠性,相反可以通过计算得出一定的连接刚度来设计连接件,这样可有效减少材料费用。

3.2　连续组合梁算例

如图5所示,该结构为一根两跨组合连续梁,组合梁上部构件为一块混凝土板,下部构件为一块工字钢,两者通过连接件联结在一起,各跨的跨中各作用竖向集中力P。材料为非线性,各构件的材料本构关系见图5。考虑材料本构参数以及单跨跨中竖向集中荷载P的随机性,对结构进行了可靠度分析,随机变量特征见表3。单元划分数为14,设所有单元的fc1、εc1、fc2、εc2、fc4、εc4、fs、εsh、fmax、δh分别完全相关。功能函数定为：g=0.012-Δ (Δ为单跨跨中挠度)。

图5　集中荷载作用下连续组合梁及材料本构关系Fig.5　The continuous composite beam with concentrated force, and material constitutive relationships of components

表3　随机变量特征表Table 3　Characteristics of structural random variables

首先考虑无轴向压力的工况,采用所提方法计算得到的可靠度指标为β= 3.890 6,失效概率为Pf=5.00×10-5。为了验证结果的正确性,采用MC法,抽样106次进行可靠度计算,MC法所得到的失效概率为Pf=1.00×10-5,可靠度指标β=4.264 9,其结果和所提方法结果比较吻合。对有轴向压力的工况同样进行了可靠度计算分析,轴向压力P1仍然分别取为0、500、1 000、1 500 kN,其分别对应的可靠度结果如图6所示。正如图6所示,由于轴向压力的作用,结构的挠度将增大,其对应的可靠度将随之减小。

图6　不同轴向压力的可靠度结果Fig.6　Reliability results of different axial forces

4结论

1)组合梁结构构造复杂,不确定性程度高,因此采用随机可靠度思想进行分析是非常有必要的；

2)首先建立了确定性的组合梁单元模型,能考虑纵向滑移效应和非线性影响,更加真实、准确地反映了组合梁的受力性能；

3)将基于直接微分法的随机有限元法直接应用于所推导的非线性组合梁单元,得出了考虑纵向滑移效应的组合梁结构响应梯度表达式。在其基础上编制的组合梁随机有限元程序能有效完成对组合梁斜拉桥的随机有限元分析；

4)所提的随机有限元法直接以确定性有限元为基础,相比目前较为流行的响应面法,在精度和稳定性方面具有独特优势(尤其是复杂或非线性程度较高的结构)；

5)算例结果表明：连接件的刚度对提升组合梁结构的可靠度具有重要影响,其随着连接件的刚度变大而增大,但连接件的刚度达到一定界限值时,可靠度不再增大,因此设计时需注意到此点,无需过于保守,避免浪费；计算组合梁的可靠度时,应考虑几何非线性的影响,考虑几何非线性得到的结果和考虑几何线性得到的结果存在明显差异。几何非线性降低了组合梁结构的可靠度值,这点在实际工程中需引起重视；

6)组合梁结构是一个复杂的组合体,其失效模式众多,如还有抗弯极限、竖向抗剪极限等问题，今后还需完善这些方面的可靠度研究。

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Stochastic finite element reliability analysis of

composite beams considering longitudinal slip

JIA Buyu, YU Xiaolin, YAN Quansheng

(School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China)

Abstract：Steel-concrete composite beams are characterized by complex structure, material variety, and strong uncertainty, thus it is necessary to analyze them from the view of randomness. Based on the Newmark geometric model, considering the concrete slab, steel beams, and shear connectors as a whole element,and making use of the T.L. column incremental method, a nonlinear composite beam element model was developed by taking the longitudinal slip effect into consideration. Then, based on the model, and the characteristics of composite beams, structural response gradients of composite beams were obtained by the direct differentiation method (DDM), while the reliability index was achieved using the FORM method. For proof of reliability, an example steel-concrete composite beam was analyzed by the stochastic finite element program. The results show that, for practical engineering, it does not need a completely rigid connection to ensure structural reliability. However for security, it is necessary to consider geometric nonlinearity in the calculation of structure reliability.

Keywords：steel-concrete composite beam; longitudinal slip; nonlinear composite beam element; direct differentiation method; stochastic finite element; reliability analysis; geometric nonlinearity

通信作者：余晓琳,E-mail:xlyul@scut.edu.cn.

作者简介：贾布裕(1983-), 男, 博士后;

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51208208)；中国博士后科学基金资助项目(2013M542174)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2014ZZ0019,,2015ZM114).

收稿日期：2014-04-07.

中图分类号：U448.27

文献标志码：A

文章编号：1006-7043(2015)12-1554-06

doi:10.11990/jheu.201404024