信号交叉口交通流的数值仿真

吴 中，马 乐，徐 琴，苏治北

(河海大学土木与交通学院，江苏南京210098)*

0 引言

随着汽车数量迅速增长，城市路网受到越来越越大的挑战.交叉口作为网络节点，在路网中起着使交通流四通八达、交流互通的重要作用.城市交叉口大多受信号灯控制，绿灯相位内，交叉口相应方向的车流可顺利通过;黄灯开始时，车辆禁止进入交叉口(已越过停车线的车辆可以继续前进);在其后的红灯时间内，到达的车辆只能在交叉口前排队等候.平面交叉口是各方向车流分时共用空间的通道，因此交叉口也有制约、中断连续交通流的作用.信号灯周期性运行，各种相位或状态重复出现，城市道路车流状态的周期性表现出不同于高速公路和乡村公路的特征.

目前，城市交通流的准实时监测与推算、车辆排放的估计受到高度关注，交叉口交通流的计算方法不可或缺.只考虑连续特性的交通流方程，一般不涉及交通信号对交通流的影响，也难以较好描述车辆在交叉口附近减速、怠速、起动等行为.单纯的类流体宏观交通流方程很难全面刻画城市交叉口交通流特性.

1 交通流理论的选择

交通流理论发展迅速，公认的原创代表性成果有 Lighthill、Whitham［1］以及 Richards［2］提出的LWR 模型，Daganzo［3］对简单仿照流体动力学的密度梯度模型进行批判，提出的速度梯度模型，以及多人从微观角度提出的描述车队中车辆跟驰行为理论.1997年，严宝杰［4］利用前后车的相关关系确定车辆坐标位置，编制了信号交叉口车流运行模拟程序，模拟实现了信号交叉口交通流运行全过程在计算机屏幕上的再现，其交通理论基础是跟驰模型理论.2012年，陈玉峰［5］基于类流体的动力学方程和守恒定律，采用离散网格法用C++在Linux平台上编写交通流微观仿真程序，建立了交通流数值计算仿真平台.他们在交叉口交通流计算上进行了有益的探索，促进了交叉口交通流仿真的发展.若考虑城市交通网络复杂(交叉口多)、交叉口信号相位多、交通流周期性中断、车流速度受多种条件约束，交叉口交通流数值模型应满足计算量小、计算速度快且易表达路况及外界条件改变对交通流影响的要求.一般而言，包括元胞自动机和多智能体模型方法，基于跟驰理论的交叉口模型，无论是采用等时推进或事件驱动的离散仿真方法，当车辆和网络规模较大时，计算量明显过大，并且还要考虑车辆换道行为.道路状况对车流速度的影响只能融入跟驰模型或计算推理规则中，不同外界条件要有不同的模型与规则;基于速度梯度的动力模型可以用差分方法求解，动力方程描述了车流的速度与加速度类似流体的变化规律(车流加速度被认为由速度梯度驱动，水流加速度由压强梯度驱动).理论上，交通流体加速度改变除主要与速度的空间梯度有关外，还与平衡速度和反应滞后时间有关，外界与路况影响速度的因素主要反映在速度梯度项的系数上，也与平衡速度和滞后时间相关，有的类似方程还给出附加项;与速度梯度方程相比，LWR模型更加简单，只需列出车辆守恒(也称流体对流)方程.城市道路交通流特征、道路交通控制、路况影响因素等都可由交通流基本图表达.基本图包含的信息量多于动力方程中的平衡速度与滞后时间.虽然LWR不是严格意义上的动态模型，但空间与时间上的差分求解方法可以赋予它足够精度的动态特性.

本文基于差分方法、利用LWR模型和基本图进行交叉口交通流计算仿真，不需考虑车辆换道、跟驰等微观因素，也不必标定方程速度梯度项系数与平衡速度等，具有计算快捷，基本图描述交通流方便简单、易于标定的特点［6］.

2 交通流模型建立

将交通流比拟为连续介质，交通流满足车辆数量守恒方程:

式(1)包含两个未知量k与q，k表示密度，q表示流量，需要与交通流基本图联立求解.为简单起见，本文采用适于城市道路交通流的三角形基本图，如图1.

图1 交通流三角形基本图

图1表达了下列交通流基本规律:

若i表示道路空间坐标，n表示时间坐标，式

(1)空间中心差分、时间前差的离散方程为:

为确保方程计算的稳定性，在空间上对kni进行替代，n+1时间层kni+1表示为:

式(3)、(4)具有空间二阶、时间一阶精度，能够满足交通流计算的要求.n+1时间层的流量可依据式(2)给出离散式:

由基本关系求出速度:

离散方程(4)～(6)共同构成交通流基本模型.

3 考虑信号灯的交叉口交通流模型

信号灯交叉口模型重点与难点在于信号灯相位变化与交叉口路权变换在模型中的表达.不失一般性，以两单行道A与B及其它们的交叉口为例进行说明.

A与B道路分别进行网格等分剖分，重合的交叉口区域各自划分.以A道路为例，车辆进入端第一个单元即图2中的a单元设为驶入给定边界，进入A道路车辆数由外界依时给定.图2中，b单元为驶入边界下游第一个单元，c、d单元为交叉口上游停车线前倒数第二第一单元，e单元为交叉口区域停车线后的第一个单元，f到g是交叉口区域其它单元，车辆离开端最后一个单元i设为驶离边界，可设定畅通式无反射波的开边界，也可根据实际情况设为驶离给定边界.B路的网格划分同A路.

图2 道路网格划分图

数值模型中信号灯相位周期由特定交叉口相位数组指示，数组长度为仿真时间步数，交叉口信号灯共有四种状态如图3，每个时间步都由数组指明信号灯状态.状态值tpd=0，对应A路的绿灯和B路的红灯灯;tpd=1，对应A路的黄灯和B路的红灯;tpd=2，对应B路的绿灯和A路的红灯;tpd=3，对应B路的黄灯和A路的红灯.

图3 交叉口相位示意图

事实上，每条道路交叉口只有绿灯、黄灯与红灯三种状态，分别对三种状态进行计算.

A路绿灯时将道路分为三个部分计算:第一部分是给定的驶入边界值，图2中的a单元;第二部分是驶入边界下游第一单元至驶离边界上游一个单元，b到h之间的单元，按式(4)计算;第三部分是驶离边界i单元，无反射开边界计算.

黄灯时将道路分为六个部分计算:第一部分是给定的驶入边界值;第二部分是驶入边界下游第一单元至交叉口上游前两个单元，即b到c之间的单元，按式(4)计算;第三部分是交叉口上游一个单元d，考虑停车线上游的车辆不能进入交叉口区域，密度按黄红灯前边界条件式(8)计算.

第四部分是交叉口区域第一个单元e，考虑上一个单元格车辆不进入交叉口，密度按黄红灯后边界条件式(9)计算.

第五部分是交叉口区域第二个单元到驶离边界上游一个单元，即f到h之间的单元，按式(4)计算;最后一部分是驶离边界i，按式(7)计算.

红灯时将道路分为五个部分计算:第一部分、第二部分、第三部分和第五部分和黄灯时计算相同;第四部分从交叉口区域到驶离边界上游一个单元，e到h之间的单元，按式(4)计算.

交叉口区域计算中暂未考虑上一相位交叉口发生拥堵、较多车辆滞留交叉口区域影响本相位车流前进的情况.

B路计算原理与A路相同，A、B两路只要根据交叉口红绿灯变化在时间上组合即可完成考虑信号灯影响的交叉口交通流数值模型建立与计算，其算法流程如图4所示.

图4 算法流程图

4 算例

以A和B单向道路为算例，A路取1 km，B路取1.2 km，两条路每10 m一个等间距网格单元，选Δx=10 m，模拟时长为3 960 s，时间步长为Δt=0.1 s，畅行速度为 50 km/h，阻塞密度取160pcu/km，临界密度取60 pcu/km.信号周期如下:0～30 s，A路绿灯B路红灯;31～33 s，A路黄灯B路红灯;34～63 s，B路绿灯A路红灯;64～66s，B路黄灯A路红灯.

初始密度:kp0=40 pcu/km

时变给定驶入边界，驶入峰值大于qm:

A路40+22sin(πt/1600+π/2)

B路40+22sin(πt/1600+π/4)

驶出边界:开边界没有计算域外反射交通波传入.

图5是A路、B路停车线上游第一个单元d与d'密度时间图.A、B路d与d'单元在遇到黄红灯时密度增大到最大值;绿灯时间推移，单元格密度逐步减小，表达了交叉口中断交通的特征.

5 A、B路停车线上游第一个单元d与d'密度时间图

图6对应图5的流量，与密度有很好的对应关系.绿灯中流量逐步增加和黄灯下流量突然减至为0的曲线，描述了真实的情况.

6 A、B路停车线上游第一个单元d与d'流量时间图

图7是A路、B路交叉口区域第一个单元e与e'密度时间图.当上游不再来车，则e与e'单元的密度减小;绿灯内密度增大，反映特性合理可信.

图7 A、B路交叉口区域第一个单元e与e'密度时间图

图8 A、B路交叉口区域第一个单元e与e'流量时间图

图8对应图7的流量，与密度有很好的对应关系.上游不再来车时，下游流量减小，绿灯内流量增大.

由于黄红灯前后边界条件所描述的周期性中断交通流，交通流突然中止，使得其交通波产生截断“尾波”，这是由数据计算带来的误差.事实上，当黄灯亮前3～5 s，上游赶不上绿灯相位，越过停车线的上游车流已经开始减速，其对应的基本图也受到速度与流量的限制，使真实交通流的“尾波”现象大为缓冲.通过在黄灯前短时间内设定速度受限的基本图可以清除“尾波”如图9，A路停车线上游第一个单元d和交叉口区域第一个单元e的密度时间图.

图9 A路停车线上游第一个单元d和交叉口区域第一个单元e的流量时间图

考虑修正黄红灯上下游边界黄灯前短时间交通流，计算得到算例的交通流时空图见下图，纵坐标是仿真时间，横坐标是仿真空间，图10～13分别表达了在周期性车流输入的条件下，A、B两条道路各处在3 960 s内的交通流参数.

图10 A路密度时空图

图11 A路流量时空图

图12 B路密度时空图

图13 B路流量时空图

5 结论

通过本文算例表明，LWR结合基本图模型完全可以仿真交叉口的间断交通流，它可以表达出车辆在信号灯控制下周期性中断的宏观特性;所建立的交叉口模型的路段需要根据红绿灯状态分段计算，数值模型中除了要设定常规的驶入边界和驶离边界外，还要在特定单元设立黄红灯前边界与黄红灯后边界，这是交叉口模型特有边界条件，也是将连续交通流方程应用到间断交通流中的关键衔接技术;在特定时段黄红灯前后边界可以改变基本图去限制流速，模拟车辆在停车线前信号转变前短时减速的现象，以缓解或消除交通流突然中断所带来的“尾波”，基于基本图能够匹配到每一个单元;LWR结合基本图模型适应性广，基本图可由现场调查或经验推断获得，与城市道路实时传感网结合，可为城市实时或准实时交通网络流量推算与估计提供一种简单、快速、适应力强的方法.

［1］LIGHTHILL M J，WHITHAM G B.On kinematic wavesⅡ:a theory of traffic flow on long crowded roads［J］.Proc Roy Soc A，1995，229(1178):317-345.

［2］RICHARDS P I.Shock waves on the highway［J］.Operations Research，1956(1):42-51.

［3］DAGANZO C F.Requiem for second-order fluid approximations of traffic flow［J］.Transport Res B，1995，29:277-286.

［4］严宝杰，李小俊.信号交叉口车流运行模拟程序数学模型的探讨［J］.西安公路交通大学学报，1997，17(3):1-2.

［5］陈玉峰，买买提明·艾尼，依再提古丽·阿克甫，等.交叉口交通流的数学建模与数值模拟［J］.机械设计与制造，2012(10):256-258.

［6］吴中，王梅妞.具有迟滞效应的交通基本图模型及仿真［J］，大连交通大学学报，2013，34(1):25-27.