混流式水轮机尾水管螺旋涡带的近似解析模型及验证

赖喜德，陈小明，张 翔，苟秋琴

(西华大学能源与动力工程学院，四川 成都 610039)

·能源与环境·

混流式水轮机尾水管螺旋涡带的近似解析模型及验证

赖喜德，陈小明，张 翔，苟秋琴

(西华大学能源与动力工程学院，四川 成都 610039)

混流式水轮机在偏离设计工况特别是在部分负荷下运行时,转轮出口的旋流会在尾水管中产生螺旋状涡带，该涡带引起的压力脉动是引起水轮机水力不稳定的最主要原因。采用全流道非定常三维流场数值模拟来计算尾水管流场不仅对计算资源性能要求很高和耗时，而且很难在设计阶段快速计算出尾水管涡带诱导的流场，不利于在较宽运行工况范围预评估水力稳定性。本文在螺旋涡管诱导流场理论的基础上探索建立在部分负荷运行下尾水管中螺旋涡带的近似解析模型。采用该模型可以快速近似地计算出尾水管的流速，与国外相关的试验结果对比，验证了该模型的正确性。可以进一步研究将该模型用于混流式水轮机设计过程中的优化流道设计，以减轻尾水管涡带的影响和扩大运行工况范围。

涡带；尾水管；混流式水轮机；流场计算

混流式水轮机在部分负荷下运行的水力不稳定性问题尤为突出，大量的试验已证实尾水管涡带引起的压力脉动是引起水力不稳定的最主要原因[1-3]。虽然近年来国内外在水轮机内部非稳定流和尾水管涡带数值模拟方面开展了一些研究工作[3-4]，通过数值模拟结果可以初步预测压力脉动，但是到目前为止评价水轮机水力稳定性的主要手段仍是进行模型压力脉动试验[1]。如何在设计阶段有效控制水轮机尾水管涡带引起的压力脉动，变事后评估为设计过程中控制是提高水轮机水力稳定性的有效途径，这是水轮机水力优化设计的难点[5-6]。在设计阶段采用非稳定流的数值模拟来预测尾水管涡带引起的圧力脉动不仅耗时和需要高性能的计算资源，而且并不十分有效[3-4]。在流道的自动优化设计过程中，也很难将尾水管涡带引起的水压脉动特性作为优化目标函数来表达。近年来，国内外一些学者都在试图建立涡带的流动解析模型，通过解析方法来计算尾水管的流场[7-10]。从试验观察在尾水管直锥管段内，随着运行工况变化可能呈现出直柱管状涡带、葫芦管状涡带和螺旋管状涡带(称其为螺旋涡带)等，引起尾管壁强烈压力脉动的主要是螺旋涡带[1,7-10]。本文在此基础上探索建立尾水管中螺旋涡带的近似解析模型来近似计算尾水管的流速，在此基础上可预测其尾水管水压脉动，为在水力设计阶段能有效控制水轮机尾水管涡带引起的压力脉动奠定理论基础，寻找出可行的优化设计目标函数方法。

1 在部分负荷下运行的尾水管螺旋涡带的特征

当定叶式水轮机处于低水头与低负荷工况运行时，由于流量减小，单位转速增加，致使转轮出口产生一正向旋转的水流速度环量，于是尾水管中心一带形成强制旋涡，涡流的偏心会引起涡流的螺旋状运动，形成通常所说的螺旋状涡带。在模型试验[2]时可以观测的尾水管涡带如图1所示，可以简化成如图2所示的示意模型。涡带可看作是一束高速旋转的水体，此旋转水体(不管是否形成空腔)以自身旋转频率Ωrope绕涡带螺旋轴线，并以进动频率Ω绕尾水管中心轴线在尾水管内作螺旋状运动时，它就周期性地影响尾水管内的速度场。由于尾水管内整个速度场发生周期性的变化，速度脉动和压力脉动也就以同样的频率出现了，这样就在尾水管内形成了周期性的低频压力脉动。

2 尾水管直管段中螺旋涡管的流函数

2.1 螺旋涡管简化模型

如图3所示，将尾水管螺旋涡带简化为螺旋涡管，假设螺旋涡管无限长，具有左或右旋向，均匀分布螺旋涡管在圆锥直管中作整体均匀运动：绕Z轴以匀角速度Ω转动，同时沿Z轴以匀线速度V0移动。相关参数如下：R为圆柱直管半径；Q为尾水管内流体的流量；a0为圆柱螺旋涡管中心轴线包络柱面半径；i为圆柱螺旋涡管的根数；h为圆柱螺旋涡管中心轴线节距(l=h/2)，取右旋l>0，左旋l<0；Lk为第k根圆柱螺旋涡管中心轴线；为单根集中涡强度，取>0与图示相同，<0与图示相反；(er，，B)为螺旋正交标架，B、为非单矢量，Ber=；V0为圆柱螺旋涡管沿Z轴方向线速度；(x′,y′,z′)为绝对直角坐标系；Ω为圆柱螺旋涡管沿Z轴旋转角速度，取Ω>0与图示相同，Ω<0与图示相反；(x，y，z)为相对直角坐标系；为螺旋涡管半径，对于涡丝，它趋于零；(a0，0k)为第k根圆柱螺旋涡管中心轴线与z=z0的水平横截面交点坐标，也是该轴线的螺旋坐标(0k=0k-z0/l，k=1,2，..，i)；V,V′为螺旋涡管诱导的相对和绝对速度场；p为螺旋涡管诱导压力场；ω,ω′为螺旋涡管的相对和绝对涡量场。

(a)右旋 (b)左旋 (c)涡管水平截面

图3 尾水管涡带简化为匀动圆柱螺旋小单涡管示意图

2.2 相对螺旋坐标系下螺旋涡管的流场控制方程

2.2.1 相对螺旋自变量及螺旋标架的引入

考虑到简化螺旋涡管的尾水管流场中的相对涡量场和速度场具有螺旋对称性，如图3所示，为了便于模型建立，通过相对柱坐标系中的自变量(r，，z) 和标架 (er，e，ez)来定义相对螺旋变量(r，)和螺旋标架(er，，B)，并给出绝对和相对螺旋自变量与相对柱坐标系之间的关系：

r=r; χ=φ-z/l; r=r′; χ=χ′-(Ω-V0/l)t。

(1)

已知函数B2=l/(l2+r2)，螺旋标架矢量(er，，B)是正交非单位矢量系，螺旋标架随螺旋涡管中心线变化，相对螺旋标架定义为

er=er;χ=rB2χ;B=B2(rr·χ)。

(2)

2.2.2 在相对螺旋标架系下流体的控制方程

连续性方程：

(3)

欧拉方程：

(4)

涡输运方程：

(5)

2.3 相对螺旋坐标系下螺旋涡管的流函数

由连续性方程(3)，引入流函数ψ，并满足

(6)

流场中的相对速度在螺旋标架系下可分解为V=Vrer+V+VBB，将式(6)代入可推导相对速度场，表达式为

V=ψ·B+VBB。

(7)

由相对涡量与相对速度的关系ω=·V以及式(7)，相对涡量场与相对速度关系分解表达式为

ω=

(8)

即

(9)

式(9)是在相对坐标系中具有螺旋对称性流场必须满足的流函数与涡分量微分关系。为了用流函数直接表达速度和涡量，可从Euler方程求解出VB。根据流场旋涡管的涡分布特点，可推导速度VB分量为

(10)

2.4 螺旋坐标系下螺旋涡管的流函数

从式(9)和坐标架关系可以得到在螺旋坐标系下涡量表示的流函数方程：

W0=lΩ+U0。

(11)

3 尾水管中涡带的流函数

3.1 尾水管中涡带的诱导速度场

假设尾水管直管段内的流场由两部分组成，一部分是轴对称的直管涡诱导的速度场，另一部分是螺旋涡管诱导的速度场，实际尾管内的速度场是由两部分速度场叠加而成。螺旋涡带和螺旋涡管在概念上有所不同，螺旋涡管是一个力学名词，指流场中的涡量聚集于螺旋管内。螺旋涡带是一个工程名词，是指涡旋流场中出现螺旋形状的管状物。实验表明这时流场中的涡量即聚集于螺管之内，同时也有可能分布于螺管之外，如图4所示。可写出单涡管水平截面区域的周线极坐标方程，在任给z=z0水平截面上，被截单涡管区域Sz1为椭圆区域，其中心位置坐标为(a0，01=01-z0/l)，它的面积为)，从上式可解得1与a的关系(Sz1的椭圆周线极坐标方程)为：

φ1=φ01±θ0(a)，

(12)

Ximing WANG和Michihiro NISHI等在研究尾水管内螺旋涡带诱导的流场时，通过试验，认为对于小核螺旋涡带，尾管截面上的涡量这样分布[9-10]：

(13)

ω′=0，其他

3.2 涡带流函数控制方程及其解

(14)

USin(r)=1，在0≤r′≤a0-ε区域内，USin(r)=0，在其他区域内；USz1(r,χ)=(Se/Γ2)ωz′(r,χ)，当(r,χ)在涡内为1，其他区域为0。

式中：Ψrope表示柱管内由涡带诱导流场的相对流函数；常数W0rope=lΩrope+U0rope为这种涡带诱导流场下的速度常数。

根据线性微分方程的叠加原理，方程(14)的解为下列两个线性微分方程的特解之和。这两个微分方程分别为:

(15)

式(15)的第一方程为螺旋涡管的流函数微分方程，尾水管的螺旋涡带一般为小单螺旋涡管(ε

(16)

第二方程为直管涡的流函数微分方程，直管涡流函数解析表示为

(17)

(18)

3.3 尾水管涡带诱导的速度场求解

在前面的假设下由于流场中仍保持螺旋对称性，可以根据流函数先求出螺旋标架系下的3个相对速度分量，再求出在圆柱坐标系下相对速度场和绝对速度场，其绝对速度场的解析解为：

(19)

常数V0rope+U0rope是在柱管轴心处流体介质铅直向下的速度，如果设柱管内流体的流量为Q，那么介质沿z′轴方向速度在整个柱管横截面上的积分应该等于柱管内流量，注意在方程(19)最后一式中，无穷求和项在柱管横截面上的积分为零，即可推导得：

(20)

(21)

式中：

C0rope=V0rope+U0rope，

4 基于近似解析模型的流速场计算与验证

为了验证前面建立的近似解析模型的正确性，引用Ximing Wang，Michihiro NISHI等的实验和数值结果[9-10]进行对比，其涡带的基本参数是从文献[9-10]中获取的，螺旋涡带量纲一化基本参数取为：

a0=0.668，ε=0.132，l=-0.6，Γ1=1.572，Γ2=0.96，U0rope+V0rope=-0.51

(22)

采用式(21)、(22)计算轴向和周向平均速度，将其数值结果与Ximing Wang等的实验和数值计算结果进行对比，如图5所示。

(a)周向平均速度 (b)轴向平均速度

图5 本文的近似解析模型与X. Wang等的实验结果对比

从速度场对比中发现，近似解析结果与Ximing Wang等的数值计算结果完全吻合，因此本文的近似解析公式完全能够替代Ximing Wang数值计算方法。从图5可以看出，在涡核和尾水管壁附近，计算的速度数值与实验值有较大的偏差，这主要是由于忽略了这两处流体黏性造成的，而在流场的其他大部分区域，近似解析计算结果与实验相吻合。

5 结论

混流式水轮机在偏离设计工况，特别是在部分负荷下运行时螺旋状涡带是引起尾水管压力脉动的主要因素。虽然近年来业界在探索采用全流道的非定常三维流场的数值模拟来计算尾水管流场；但是不仅对计算资源要求巨大，而且耗时，难以用于水力设计过程中预测水轮机的尾水管涡带引起的压力脉动。本文在螺旋涡管诱导流场理论的基础上探索建立了在部分负荷下运行下尾水管中螺旋涡带的近似解析模型。采用该近似解析模型可以快速近似计算尾水管的流速分布，与国外相关的试验结果对比，在涡核和尾水管壁附近计算的速度数值与实验值有较大的偏差，这主要是由于忽略了这两处流体黏性造成的。而在尾水管流场的其他大部分区域，近似解析计算结果与实验相吻合，证明该近似解析模型的正确性。可以在设计过程中根据较宽范围运行工况参数初步计算尾水管流场，以优化流道设计，还可以进一步研究该解析模型在设计过程中如何用于预测其尾水管水压脉动来评估水力稳定性。

[1]Nishi M , Liu S H. A Outlook on the Draft-tube-surge Study [J]. International Journal of Fluid Machinery and Systems，2013, 6(1):33-48.

[2]Nicolet C, Zobeiri A, Maruzewski P ,etal. On the Upper Part Load Vortex Rope in Francis Turbine: Experimental Investigation[C]// 25th IAHR Symp on Hydraulic Machinery and Systems. Timisoara, Romania:[s.n].2010,1:1-10.

[3]张双全，符建平，段开林,等. 三峡水轮机尾水管涡带的CFD 数值模拟[J]. 华中科技大学学报:自然科学版，2006,34(7):19-20.

[4]Thi C Vu, Christophe Devals, Ying Zhang, et al.Steady and Unsteady Flow Computation in an Elbow Draft Tube with Experimental Validation [J]. International Journal of Fluid Machinery and Systems， 2011,4(1):85-96.

[5]LAI Xi-de. Analysis and Estimation of Hydraulic Stability for Francis Hydro Turbine[J]. J of Hydrodynamics(Ser.B) ,2004,16(2):194-200.

[6]赖喜德. 基于性能预测的水轮机水力优化设计[J]. 水动力学研究与进展，2002 ,17(6):656-664 ,

[7]Liu Xiang, Huang Qi-bai, Liao Dao-xun, et al. Analytical Solution for the Velocity Field Induced by a Uniformly Moving Helical Vortex Filament in Cylindrical Tube[J]. Journal of Hydrodynamics, Ser. B, 2003 (1):111-121.

[8]Romeo Susan-Resiga, Sebastian Muntean, Peter Stein，et al.Axisymmetric Swirling Flow Simulation of the Draft Tube Vortex in Francis Turbines at Partial Discharge[J]. International Journal of Fluid Machinery and Systems， 2009,2(4): 295-302.

[9]Nishi Michihiro,Wang Xinming,Okamoto M, et al. Further Investigation on the Pressure Fluctuation Caused by Cavitated Vortex Rope in an Elbow Draft Tube[J]. ASME, 1994,109: 63-70.

[10]Wang Xinming, Nishi Michihiro. Analysis of Swirling Fow with Spiral Vortex Core in a Pipe[J]. JSME International Journal, Series B, 1998,41( 2): 254-261.

(编校：夏书林)

Approximated Analytical Model and Validation of Helical Vortex Rope inside Draft Tube of Francis Turbine

LAI Xi-de , CHEN Xiao-ming ,ZHANG Xiang，GOU Qiu-qin

(SchoolofEnergyandPowerEngineering,XihuaUniversity,Chengdu610039China)

When a Francis hydraulic turbine operates at off-design regimes and particular at partial discharge, the residual swirl downstream runner leads to flow instability of the turbine, with development of a heliacal vortex rope and associated large pressure fluctuations on the draft tube. It is not only notoriously difficult and expensive to be computed by using full 3D turbulent unsteady flow models, but also can not meet the requirement of robust, tractable and accurate prior assessment of the flow unsteadiness level with a wide operating range before actually knowing the detail runner geometry. We established a quasi-analytical model of the vortex rope in the discharge cone based on the theory of processing helical vortex tube in swirl flow. The axial and circumferential velocity profiles can be quickly calculated with this averaged velocities model, and were validated by comparing the numerical results with the experimental results presented in the references. It can be further applied to optimize the flow path design in order to reduce the vortex rope and expanding the operating range for a Francis turbine.

vortex rope; draft tube; francis turbine; flow field analysis

2015-05-10

国家自然科学基金项目(51379179)

赖喜德(1962—)，男，教授，博士，主要研究方向为流体机械及工程、水电动力工程。

TK730.2

A

1673-159X(2015)05-0024-10

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.05.004