一种改进的灰色关联度算法及其推广应用

陈友军，何洪英

西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009

1 引言

灰色系统关联分析不仅是灰色系统理论的重要组成部分之一，而且是灰色系统分析、建模、预测、决策的基石。通过近年来的研究表明，灰色关联理论无疑是灰色系统理论应用最广泛、最具活力的部分。正是由于所有的灰色关联分析均是在灰色关联度的基础上进行的，灰色关联度模型直接影响着关联分析和应用结果，因此研究关联度模型及其算法具有十分重要的意义[1-9]。

现有的灰色关联分析是基于思想：根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小[1]；由于其以序列曲线的相似性为研究基础，因此，这里所谓的曲线越接近是指曲线的相似性，并非是曲线本身的接近（贴近），所以这种关联分析是一种相似性分析，不是接近性分析；而灰色聚类、灰色决策等实际应用中也经常使用各已知模式与理想模式的接近程度的关联分析，已知模式与理想模式越接近，接近程度就越高，接近度的值就越大，也就是说这种关联分析是一种接近性分析，不是相似性分析。接近性应当根据序列曲线的几何形状特征以及空间位置关系差异判定其关联是否紧密，接近程度与相似程度是完全不同的两个概念，对数据处理的要求也不相同，因而应有不同的定义和表达式以及不同的规范性和接近性[1-5]。

对于刘思峰教授提出的广义灰色关联度模型，由于其计算方便，不会出现量化结果与定性分析结果不符等一些优势，因而在现实中已经得到了广泛的应用[10-16]。但是深入研究发现其存在严重的不足之处，从某些实际例子来看，广义灰色关联度以及刘思峰教授在此基础上提出的灰色接近性关联度和灰色相似性关联度都无法反映序列间的真实接近性或相似性，也就是实际上是存在量化结果与定性分析结果不一致的问题。

2 问题提出

刘思峰教授在文献[1]中以及前几版的书中都给出了灰色广义关联度，其中包括灰色绝对关联度和灰色相对关联度，并在最新版的文献[1]中根据灰色广义关联度的相关命题和定义给出了灰色接近性关联度和灰色相似性关联度。然而，正是因为这些文献中所给命题与灰色序列关系的实际意义（接近或相似）存在不一致而导致了一系列的问题。

2.1 相关命题及定义

命题2.1.1设系统行为序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，记拆线 (xi(1)-xi(1),xi(2)-xi(1),…,xi(n)-xi(1))为Xi-xi(1)，令

则

（1）当Xi为增长序列时，si≥0；

（2）当Xi为衰减序列时，si≤0；

（3）当Xi为振荡序列时，si符号不定。

类似地可以给出Si的符号变化情况。

定义2.1.1设系统行为序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，D为序列算子，且

其中xi(k)d=xi(k)-xi(1)，k=1,2,…,n，则称D为始点零化算子，XiD为Xi的始点零化像，记为

则

（1）当恒在上方，si-sj≥0；

如图 1所示，图（a）中，恒在上方，所以si-sj≥0，图（b）中，与相交，si-sj的符号不定。

对于Si-Sj不难得到类似的结论。

图1 拆线关系示意图

2.2 存在的问题

由上面的命题和定义知si为经始点零化后序列拆线与时间轴所围图形的面积，而Si为原始序列拆线与时间轴所围图形的面积；当然si-sj即为两原始序列经始点零化后的拆线与时间轴所围图形的面积之差，Si-Sj即为两原始序列的拆线与时间轴所围图形的面积之差。那这些面积差是不是图1中所示的面积差（图中阴影部分所示）呢？

很遗憾的是，这些面积差并不表示图中所示的阴影部分的面积，这种计算方法得到的是两个总面积之差，并不是交叉的阴影面积。然而，现实中人们更关心的是图中阴影部分的情况，也就是两种拆线图形的真实差异情况。

2.3 实例分析

例2.1设系统行为序列X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，它们经始点零化后的序列分别为=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)，拆线如图2所示，试计算它们的灰色绝对关联度、灰色相对关联度、灰色接近性关联度和灰色相似性关联度。

图2 拆线样式

解：很明显，两个序列既不接近，也不相似。

利用2.1节的相关命题及定义计算数据：

依据文献[1]中所给灰色绝对关联度、灰色相对关联度、灰色接近性关联度、灰色相似性关联的计算公式计算得到的这些关联度均为1。然而，从某种意义上说，只有当两序列完全重合时这些关联度才可能为1，因此，刘思峰教授所提出灰色广义关联度的计算方式是不符合实际意义的，其根本原因在于对前述“面积之差”的理解有误。

本例所给两序列一是单调增长的，另一个是振荡序列，根据例子的形式，还可以列举出无穷多类似的例子。对于常见的两个或多个序列同为单调增或单调减的，也可以找到无穷多的实例。

实际上，刘思峰教授提出的广义灰色关联度计算方法问题的根本原因就是忽略了图形的本质特征而仅考虑面积之差，这就好比如果一个三角形的面积等于一个圆的面积时，是不能说三角形和圆是相似的或接近的。虽然刘思峰教授在文献[1-3]中给出了接近性关联度、相似性关联度等的新性质，但这些却给实际应用带来了麻烦，特别是在进行灰色聚类分析和灰色决策分析时，到底应该对这样的序列怎样归类，他们到底是不是属于同类行为导致的呢?很明显，现实中是不允许这样做的。比如某同学的成绩排名从第一学期到第四学期分别是1、3、5、7，而另一个同学的成绩排名是1、5、3、7，这两个序列的几种灰色关联度均为1，那我们能说这两同学的学习情况是完全相似、他们的成绩是完全接近的吗？很明显不是的，当然我们也无法得出结论说这两个同学的学习能力、学习方法等是差不多的。

3 改进算法

综上，广义灰色关联度的不足之处在于对序列间存在的面积理解和计算方法有误，因此，改进算法就从面积入手进行。

陈友军在文献[6]中提出了灰色面积关联度，后来又有很多学者提出了以图形的面积差异来计算关联度的方法[7-9]，然而这些文献中的计算多是针对特殊例子而言的，且计算过程大多过于麻烦（使用很多的绝对值计算方式），因此本文以陈友军提出的灰色面积关联度来对刘思峰教授提出的灰色广义关联度等进行改进。

3.1 灰序列图形间的面积

设系统行为序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))，Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，且都为1-时距序列，则这两个序列的折线图分布的可能情况如图1所示。对于两序列的折线图所围面积的情况，总的来说有三种，但是第一种情况可看作是第三种情况的特例，即当第三种情况的某一对端点重合时的情况，最特殊的是两对端点都重合时的情况，这也是第三种的特例；而第二种面积，即是两曲线段有交叉的情况。

（1）对面积①和③，此时有xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)，它们的计算可由下式得到：

（2）对面积②，它由两条线段交叉形成，而线段的端点已知，因此可以先计算出交点坐标，再分别计算两个三角形的面积，于是得到：

由此，可以得到两任意灰序列Xi与Xj的拆线图所围成的面积Sij，其计算方式为：

其中，当序列对应项满足xi(k)≤xj(k)且xi(k-1)≤xj(k-1)或者xi(k)≥xj(k)且xi(k-1)≥xj(k-1)时按式①计算，其他情况按式②计算。

3.2 灰色绝对关联度与灰色相对关联度

实际上灰色绝对关联度与灰色相对关联度的差异在于是否先对序列作初值化处理，故在此只给出计算灰色绝对关联度的算法。

步骤1计算序列的始点零化像和；

步骤2 计算|si|和|sj|；

步骤3计算sij；

若要计算灰色相对关联度，只需在算法最前面加上一步计算原始序列的初值像即可。

3.3 灰色接近性关联度和灰色相似性关联度

根据刘思峰教授在文献[1]中所给灰色接近性关联度与灰色相似关联度的计算公式，不难得出这两种关联度的计算新方法。

对于灰色相似性关联度，计算方法和公式与灰色接近性关联度类似，只不过应当先计算系统行为序列的始点零化像。后面的计算都是针对始点零化像来做的，在此不再赘述。

有了上面对各类灰色关联度的新算法，在实际应用中，依据序列的几何形状进行聚类或进行决策分析等时则选用灰色相似性关联度；若要依据序列的空间位置关系进行聚类、决策等时则可选用灰色接近性关联度。

4 计算实例

例4.1序列数据如例2.1所示，计算它们的灰色绝对关联度、灰色相对关联度、灰色接近性关联度和灰色相似性关联度。

解：系统原始行为序列为X1=(1,3,5,7)，X2=(1,5,3,7)，很明显，它们的初值化像与原始序列相同，它们经始点零化后的序列分别为=(0,2,4,6)和=(0,4,2,6)。

因此这两个序列间的各种关联度分别为：

灰色绝对关联度：

灰色相对关联度：由于两序列的初值化像与原始序列相同，故它们的灰色相对关联度等于灰色绝对关联度。

灰色接近性关联度：

灰色相似性关联度：

从这些结果来看，它们与例2.1的计算结果是完全不相同的。从灰色绝对关联度大小来看，说明两序列间存在一定的关联性；而从灰色接近性关联度和灰色相似性关联度来看，则说明两序列既不接近也不相似。因此，在实际做聚类分析、决策分析时应当根据实际要分析的目标选取统一的关联度来分析，不能有的选用灰色绝对关联度，有的选择灰色接近性关联等。

5 结束语

灰色系统关联分析是近几年来灰色系统理论研究中最活跃的分支之一，其关联度的计算结果直接影响到系统聚类、决策分析、灰色预测模型的建立等各个方面。本文对刘思峰教授提出的经典广义灰色关联度及新提出的灰色接近性关联度和灰色相似性关联度提出了部分改进算法，通过实例分析发现，改进算法比原算法更贴近实际应用目的。但是这些关联度的计算仍然还有很多工作要做。

（1）对于采用本文提出的方法计算灰色接近性关联度和灰色相似性关联度，由于以序列拆线所围面积直接参与计算，可能会出现得到的关联度相对偏小的情况，因此，是否可以通过对Sij和sij进行开方运算、取算术平均等方式让计算结果更直观，实际应用中到底取哪种更合适。

（2）对于灰色接近性关联度的研究，很多学者比较统一的观点是接近性反映的是序列的接近程度，因此可以通过拆线所围面积或者直接通过序列对应点的差值（点距）来计算；然而对于相似性关联度来说，到底什么才算相似，有学者提出：对系统行为序列Xi=(xi(1),xi(2),…,xi(n))和Xj=(xj(1),xj(2),…,xj(n))，若存在常数α(≠0)和β，使得xj(k)=αxi(k)+β，则认为两序列完全相似（以绝对值方式计算，相似性关联度为1），那如果是这样，序列X1=(1,3,5,7)与X2=(7,5,3,1)就完全相似，因为有x2(k)=-x1(k)+8成立，同理，X1也与序列X3=(2,4,6,8)完全相似，因为有x3(k)=x1(k)+1成立；但是从实际图形来看，这些拆线却并不满足有学者提出相似性关联度的性质。事实上，X1和X2就好比上山和下山所做的功，上山和下山虽然道路相同，但是运动效果明显不相似。那是否有必要对关联度引入负相关的概念值得进一步研究。

[1]刘思峰，谢乃明.灰色系统理论及其应用[M].6版.北京：科学出版社，2013.

[2]刘思峰，蔡华，杨英杰，等.灰色关联分析模型研究进展[J].系统工程理论与实践，2013，33（8）：2041-2046.

[3]刘思峰，谢乃明，Jeffery F.基于相似性和接近性视角的新型灰色关联分析模型[J].系统工程理论与实践，2010，30（5）：881-887.

[4]谢乃明，刘思峰.几类关联度模型的平行性和一致性[J].系统工程，2007，25（8）：98-103.

[5]崔杰，党耀国，刘思峰.几类关联分析模型的新性质[J].系统工程，2009，27（4）：65-70.

[6]Chen Youjun，He Hongying，Wei Yong.By using grey area relational grade combined with NLP method to optimize GM（1，1）model[C]//Proceeding of 2008 IEEE World Congress on Computational Intelligence，Hong Kong，June1-6，2008.

[7]王靖程，诸文智，张彦斌.基于面积的改进灰关联度算法[J].系统工程与电子技术，2010，32（4）：777-779.

[8]Zhang Ke，Zhang Yintao，Qu Pinpin.Comprehensive multivariate grey incidence degree basedon principal component analysis[J].Journal of Systems Engineering and Electronics，2014，25（5）：840-847.

[9]蒋诗泉，刘思峰，刘中侠，等.基于面积的灰色关联决策模型[J/OL].控制与决策，2014.http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.13195/j.kzyjc.2013.1649.html.

[10]孙鹏霄.灰色关联方法的分析与应用[J].数学的实践与认识，2014，44（1）：97-101.

[11]余步雷，周宗放，谢茂森.新灰色综合关联度模型及其应用[J].技术经济，2013，32（1）：85-89.

[12]贺翔，唐果.基于层次分析和灰色关联分析的宁波企业自主创新环境评价[J].科技与管理，2014，16（3）：14-19.

[13]杨芳芳，朱东升，王志巍等.利用灰色绝对关联分析的中值滤波方法研究[J].计算机工程与应用，2013，49（13）：160-164.

[14]张健，王晋东，余定坤.基于灰关联分析的连续值属性约减算法[J].计算机应用，2014，34（2）：401-405.

[15]刘晓玲，谢仙斌，张家录，等.基于灰色综合关联分析的网络安全评估[J].集成技术，2014，3（4）：44-49.

[16]郭三党，王玲玲，刘思峰，等.基于最大灰色关联度的聚类方法分析[J].数学的实践与认识，2013，43（6）：195-201.