Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子的点态逼近

董吕修，虞旦盛

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子的点态逼近

董吕修，虞旦盛

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

摘要：针对öz 引入的一种 Kantorovich 型 Bernstein-Stancu 算子及其逼近的正定理，文章进一步推广了相关结论, 并建立了点态的逼近正、逆定理.

关键词：Bernstein-Stancu 型算子；点态与整体估计；正、逆定理

0引言

(1)

本文的首要目的就是在移动区间An上建立一个包含点态估计与整体估计的正定理. 为陈述本文结果，需要以下概念和记号:

(2)

这里x～y表示存在正常数c使得c-1y≤x≤cy.

本文的结论如下:

贯穿全文，C或者表示一个绝对正常数，或者表示一个依赖于某些参数但不依赖于f,x,n的正常数.它们的值在不同的地方可以不同.

对于逆定理，有

1预备引理

引理1[7]对于任意给定的γ≥0,成立不等式

(3)

引理2对于任意的x∈An,有

(4)

(5)

(6)

另一方面，有

因此，由式(3) 和(6)，可以推出

这就证明了式(4).

这就证明了式(5).

(7)

证明由Leibniz 公式，有

证毕.

令

引理4如果 0≤λ≤1，0<α<2，那么

(8)

(9)

证明首先，证明式(8). 考虑以下两种情形.

(10)

简单计算可得

(11)

由式(10)，(11) 以及 Hölder 不等式，有

由式(3)，(4)，(10)，并再次利用Hölder不等式，有

(12)

情形Ⅱ此时，有

(13)

(14)

由式(3)，(13)，(14) 以及Hölder不等式，得到

(15)

结合式(12)与(15)，式(8)得证.

(16)

由式(16)及Hölder不等式，可得

再利用Hölder不等式，有

其中在最后一个不等式中利用了式(5).

引理5如果 0≤λ≤1, 0<α<2, 那么

证明证明方法类似于引理 4，在此略去详细过程.

引理8对于每一个m∈N,以下不等式成立：

证明利用积分中值定理，有

(17)

由式(17)与(3)，可以得到

2定理的证明

(18)

(19)

(20)

(21)

利用式(19)可以推出

(22)

(23)

(24)

(25)

由式(21)与(23)，可得

(26)

(27)

(28)

当x∈Bn时，由式(10)，(27)，(19)以及引理8，有

(29)

(30)

其中在最后一个不等式中利用了式(24)与(25) .

结合式(18)，(22)，(26)，(29)以及(30)，定理1得证.

定理2的证明类似于文献[8]的证明方法，由引理5，6，7，即可完成定理2的证明. 此处省略具体细节.

(31)

(32)

(33)

(34)

对于一切x∈An.

由Hölder不等式以及引理8，有

(35)

因此，由式(31)，(35)与引理8，可得

(36)

(37)

当x∈Bn时，由式(10)，(32)，(35)与引理8，可得

(38)

结合式(34)，(36)～(38)，定理3得证.

参考文献:

[1] Gadjiev A D, Ghorbanalizaeh A M. Approximation properties of a new type Bernstein-Stancu polynomials of one and two variables[J]. Appl Math Comput,2010,216(3):890-901.

[2] Stancu D D. Approximation of functions by a new class of linear polynomial operators[J]. Rev Roum Math Pure Appl,1968,13(8):1173-1194.

[4] Ditzian Z, Totik V. Moduli of smoothness[M]. New York: Spring-Verlag,1987.

[5] Kirov G, Popova L. A generalization of the linear positive operators[J]. Math Balkanica,1993,7:149-162.

[7] Wang M L, Yu D S, Zhou P. On the approximation by operators of Bernstein-Stancu type[J]. Appl Math Comput,2014,246(1):79-87.

[8] Guo S S, Liu L X, Liu X W. The pointwise estimate for modified Bernstein operators[J]. Stud Sci Math Hung,2001,37(1):69-81.

Pointwise Approximation of Kantorovich Type Bernstein-Stancu Operators

DONG Lyuxiu, YU Dansheng

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:Recently, öz introduced a new type of Kantorovich type Bernstein-Stancu operators, and obtained a direct theorem about approximation. The present paper further generalized öz’s results, and established the direct and converse theorems about pointwise approximation.

Key words:Bernstein-Stancu type operators; pointwise and global estimates; direct and inverse theorems

文章编号:1674-232X(2015)06-0632-09

中图分类号:O174.41MSC2010: 41A25; 41A35

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.013

通信作者：虞旦盛(1976—)，男，教授，主要从事函数逼近论研究.E-mail：dsyu_math@163.com

收稿日期：2015-01-09