分数阶脉冲微分方程组边值问题解的存在性

江卫华，李海明

(河北科技大学理学院，河北石家庄 050018)

1 问题提出

分数阶微分方程的出现已有300多年历史，由于其理论的自身发展以及在流变学、电子网络、黏弹性、物理化学、分析化学、生物学和控制理论等学科中的广泛应用，使得分数阶微分方程受到越来越多学者的广泛关注［1-21］。

文献［1］研究了非线性脉冲微分方程边值问题:

解的存在性。

受上述文献的启发，本文研究如下非线性脉冲微分方程组边值问题:

解的存在性。其中

2 预备知识

定义1［1］函数u定义在区间(0，1)，q＞0，则阶数为q的Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义2［1］函数u定义在区间(0，1)，q＞0，则阶数为q的Riemann-Liouville分数阶导数定义为

取空间

PC(J，R)={x:J→R;x∈C((tk，tk+1］，R)，k=0，1，2，…，n，x)=x(tk)，k=1，2，…，n}，范数为‖x‖PC=supt∈J|x(t)|。

PC1(J，R)={x'∈PC(J，R);x'()=x'(tk)，k=1，2，…，n)， 范 数 为 ‖x‖PC1=max{‖x‖PC，‖x'‖PC}。

由文献［1］知PC(J，R)及PC1(J，R)是 Banach空间。乘积空间PC1(J，R)×PC1(J，R)，范数定义为‖(u，v)‖=max{‖u‖PC1，‖v‖PC1}，∀(u，v)∈PC1(J，R)×PC1(J，R)，是一个 Banach 空间。

定理1［1］(压缩映像原理)设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映像，那么T有且只有一个不动点。

定理2［1］(krasnoselskii不动点定理)设M是Banach空间X中的一个非空凸子集。假设A，B是2个映射，使得:

1)对任意的x，y∈M，有Ax+By∈M;

2)A是全连续映射;

3)B是一个压缩映射，则存在至少一个z∈M，使得z=Az+Bz。

引理1［1］假设

对于φ，ζ∈C［0，1］则分数阶脉冲微分方程组边值问题:

的解为(u(t)，v(t))。其中

3 主要结果

定理 3 令fi∈C(J×R×R，R)，Ii，k∈C(R，R)，Ji，k∈C(R，R)，(i=1，2)，fi是连续有界函数，Ii，k，Ji，k是连续函数。假如存在正实数L1，L2，L3，M2，M3，l1，l2，l3，m2，m3使得:

其中

成立，则分数阶脉冲微分方程组(1)在PC1(J，R)×PC1(J，R)中有唯一解。

证明 定义映射A:PC1(J，R)×PC1(J，R)→PC1(J，R)×PC1(J，R)如下:

其中:

其中:

定义 s upt∈［0，1］|f1(t，0，0)|=M1，supt∈［0，1］|f2(t，0，0)|=m1。取

其中r=max{r1，r2，r3，r4}，

下面需要证明A(Br)⊂Br，其中Br={(u，v)∈PC1(J，R)×PC1(J，R):‖(u，v)‖PC1≤r}。

对于(u，v)∈Br有

类似可得:

所以有:

再证A:Br→Br是压缩映像。

对于(u1，v1)，(u2，v2)∈PC1(J，R)×PC1(J，R)，∀t∈［0，1］，有:

类似可得:

则有:

其中:

由于max{Λ1，Λ2，Λ3，Λ4}＜1，则表明A(u，v)(t)是一个压缩映射，因此，根据压缩映像原理定理得证。

定理4 如果条件H1)和条件H2)成立，且n(2L2+3L3)＜，对于 ∀ (t，u，v)∈［0，1］×R×R，有|fi(t，u，v)|≤ ‖μ‖L，i=1，2，其中 μ ∈L(［0，1］，R+，R+)。则边值问题(1)在［0，1］中至少有1个解。

证明 令

Br={(u，v)∈PC1(J，R)×PC1(J，R):‖(u，v)‖ ≤r}。(r=max{r5，r6，r7，r8})。定义在Br上的映射Φ和Ψ如下:

Φ(u，v)(t)=(Φ1(u，v)(t)，Φ2(u，v)(t))，其中

Ψ'(u，v)(t)=(Ψ'1(u，v)(t)，Ψ'2(u，v)(t))，其中

对于(u1，v1)，(u2，v2)∈Br，有

所以

即 Φ(u1，v1)(t)+Ψ(u2，v2)(t)∈Br。

因为

所以映射Ψ是压缩映射。

因为fi是连续有界函数，所以映射Φ是连续的，并且在Br上有界。

证明映射Φ的紧性。

令Ω=［0，1］×Br，定义sup(t，u，v)∈Ω|f1(t，u，v)|=f1max，sup(t，u，v)∈Ω|f2(t，u，v)|=f2max。

取 τ1，τ2∈［0，1］，τ1＜τ2，则有:

‖Φ1(u，v)(τ2)－Φ1(u，v)(τ1)‖PC=

类似可得，

与(u，v)无关，则Φ在Br上是相对紧的。因此，由Arzela-Ascoil定理可知，Φ在Br上是紧的，则Φ是全连续的。所以满足定理3的所有条件，则边值问题(1)在［0，1］中至少有1个解。

4 举 例

例1 考虑分数阶脉冲微分方程组边值问题

满足定理4的条件，此边值问题有唯一解。

/References:

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