具有随机时变时滞及数据包丢失的网络系统H∞状态估计

李秀英，张曦木

(黑龙江大学 电子工程学院，哈尔滨 150080)

具有随机时变时滞及数据包丢失的网络系统H∞状态估计

李秀英，张曦木

(黑龙江大学 电子工程学院，哈尔滨 150080)

研究了一类具有随机时变时滞和数据包丢失的网络系统H∞滤波器设计问题。由于系统的测量数据打包后经过网络传输到远端的滤波器，数据包在传输过程中会发生时滞甚至丢失等现象，并且时滞的发生是随机的且有界，而数据丢包可能是连续的。提出一个新的模型来同时描述随机时滞和多丢包的网络诱导现象，并基于此模型设计使滤波误差系统均方意义下渐近稳定并具有指定H∞性能的滤波器。滤波器参数通过求解一个线性矩阵不等式得到。仿真算例表明了所提算法的有效性。

H∞状态估计; 数据包丢失；时变时滞；线性矩阵不等式

0 引 言

随着网络和通讯技术的发展，将网络引入到传统的控制系统中而构成的网络控制系统(NetworkedControlSystem，NCS)成为国内外学者们关注的热点问题之一[1-4]。在NCS中，被控对象与控制器、滤波器等部件通过网络连接，系统的测量数据打包后以数据包的形式通过网络传输到远端的控制器或滤波器。由于受网络带宽等因素的限制，数据包在传输过程中会产生时滞甚至丢失等现象，而且这种现象的发生是随机的，使得整个NCS不再是确定系统，而是一个随机系统。随机时滞和丢包现象的发生给NCS的分析与设计带来很大困难，也是NCS分析与设计时所需要考虑的两个最基本的问题。

采用Bernoulli分布的随机变量是刻画NCS中随机时滞和丢包的主要方法之一。文献[5，6]分别采用一组Bernoulli分布的随机变量来刻画NCS中的一步随机时滞和多丢包以及有界多步随机时滞和多丢包现象，并利用射影定理设计了最小方差意义下的最优滤波器，其中文献[5]对于多丢包现象采用上一时刻滤波器接收到的观测作为滤波器输入，而文献[6]则采用零输入策略，即当丢包现象发生时，滤波器端接收的观测信息为零。文献[7，8]分别用Bernoulli随机变量来建模网络传输中的随机时变时滞以及丢包现象，并基于Lyapunov稳定理论以及线性矩阵不等式(LinearMatrixInequality，LMI)技术设计了H∞滤波器。其中文献[7]对滤波器端接收到的观测数据建模时将正常接收和延迟接收分开描述，而对于丢包现象的处理依旧采用的是零输入策略；文献[8]只考虑了观测数据延迟接收的现象，并且对丢包现象也是采用上一时刻滤波器端接收的观测数据包作为当前时刻的输入来处理。

本文提出一个新的模型来同时描述NCS中的随机时滞和丢包现象，其中将观测数据正常接收和延迟接收现象统一描述，而对于丢包现象则采用补偿策略，即用估计值作为滤波器的输入。基于Lyapunov稳定性理论以及随机分析方法设计了H∞滤波器，给出了使滤波误差系统均方意义下渐近稳定并满足给定的H∞性能的充分条件，滤波器参数通过求解一组LMI而得到。

1 问题描述

考虑如下基于网络的离散时间线性系统:

(1)

由于传感器和滤波器之间通过网络连接，使得观测数据通过网络传输到远端的滤波器时，滤波器端接收到的数据可能具有随机时变的时滞和丢包现象，这种不确定现象可以用如下模型来描述：

(2)

其中，符号E表示随机变量的数学期望。

本文设计如下形式的满阶滤波器:

(3)

(4)

其中,

定义1：给定γ>0，称滤波误差系统式(4)是均方意义下指数稳定的并且具有H∞性能γ，如果式(4)同时满足以下两个条件：

1)(均方渐近稳定性)在外部扰动wk=0时，对于所有的η0∈R2n，下式成立：

(5)

(6)

本文的目标是针对基于网络的离散时间线性系统式(1)，在同时考虑随机时变时滞和丢包的网络环境下，设计滤波器参数Af、Bf、Cf，使得滤波误差系统式(4)均方指数稳定且满足给定的H∞性能γ。

2 滤波性能分析

定理1：考虑滤波误差系统式(4)，假设滤波器参数Af、Bf、Cf已知。对于给定标量γ>0，当wk=0时，系统式(4)是均方意义下指数稳定的，如果存在正定对称矩阵P=PT>0及Q=QT>0，使得如下矩阵不等式成立：

(7)

其中，

证明：构造如下的Lyapunov函数：

(8)

其中，

(9)

(10)

(11)

当wk=0时，沿着系统式(4)的解的轨迹计算Vk(ηk)的前向差分，并取数学期望，得:

(12)

而:

(13)

(14)

(15)

可得到:

(16)

分析当wk≠0时，滤波误差系统式(4)满足给定的H∞性能γ>0。

定理2：考虑滤波误差系统式(4)，假设滤波器参数Af、Bf、Cf已知。对于给定标量γ>0，当wk≠0时，如果存在正定对称矩阵P=PT>0及Q=QT>0,使得：

(17)

成立，那么滤波误差系统是均方意义下渐近稳定的，且具有给定的H∞性能γ。其中Π11、Π21和Π22的定义见定理1。

证明：显然，Ω<0意味着Π<0。根据定理1可知，滤波误差系统式(4)是均方意义下渐近稳定的。

分析系统式(4) 的H∞性能。为此仍选取定理1中的Lyapunov函数式(8)，类似于定理1的证明过程，当wk≠0，有：

(18)

其中，

为了分析滤波误差系统式(4)的H∞性能，引入如下的性能指标：

(19)

其中n是一个非负整数。显然，我们的目标是要证明在零初始条件下J(n)<0。由式(18)和式(19)可得：

(20)

由定理2，我们有J(n)≤0。令n→∞，即可以得到：

这表明性能指标式(6)满足，即系统具有给定的H∞性能。证毕。

3 H∞滤波器设计

定理2在滤波系数矩阵Af、Bf、Cf已知的前提下，给出了滤波误差系统渐近均方稳定且具有给定H∞性能的一个充分条件。不难看出，当滤波参数矩阵已知时，定理2中的矩阵不等式是线性的。而我们的目的是求解滤波参数矩阵，此时Lyapunov矩阵及滤波参数矩阵之间相互耦合，为了能用MATLAB的LMI工具箱方便地求出Af、Bf、Cf，需要将不等式(17)转化成LMI，为此引入一个松弛变量R来减小设计的保守性，相应结果由定理3和定理4中给出。

定理3：给定标量γ>0。如果存在正定矩阵P=PT>0，Q=QT>0和矩阵R、Af、Bf、Cf，使得如下矩阵不等式：

(21)

成立，那么滤波误差系统是均方意义下渐近稳定的，且具有给定的H∞性能γ。其中:

证明:由Schur补引理可知，不等式(17)成立意味着如下矩阵不等式

(22)

令P=R=RT，则由式(22)可得到式(21)。另外，如果式(21)成立，则P-R-RT>0。由于P是正定的，于是可知R非奇异。进而由(R-P)P-1(R-P)T≥0有P-R-RT≥-RP-1RT=RP, 于是可得式(23)：

(23)

对不等式(23)进行全等变换J=diag{I,I,I,PR-1,PR-1,I}。

则可得到不等式(22)。证毕。

(24)

成立，那么滤波误差系统是均方意义下指数稳定的，且具有给定的H∞性能γ。其中:

则滤波器参数可以设计为:

(25)

其中符号*表示矩阵的伪逆。

证明：由于R是非奇异矩阵，设R为如下形式:

(26)

引入新的矩阵:

(27)

(28)

定义:

(29)

于是有:

(30)

推论1：当把/gama作为优化变量时，最小的H∞干扰抑制水平γ可以通过求解下面的优化问题而得到:

s.t.(24)

4 数值仿真

为验证本文所提算法的有效性，考虑文献[9]中的系统，其系统矩阵为：

其他参数如下：

当wk为零均值，方差为Qw=0.1的白噪声时，仿真结果见图1。

图1 zk真实值和H∞滤波值Fig.1 True value of zk and its filter

在相同情况下当wk=e-0.1ksin(0.1πk)时的估计曲线见图2。由仿真结果可见，在网络环境下，当系统存在随机时变时滞和数据包丢失的情况下，本文所提出的估计算法是有效的。

图2 zk真实值和H∞滤波值Fig.2 True value of zk and its filter

此外，H∞状态估计方法与传统的Kalman滤波方法相比，当噪声为高斯的且统计特性已知时，两种滤波方法都适用，然而这一条件比较苛刻，在实际中精确已知噪声的统计特性往往是比较困难的，当噪声的统计特性未知时，Kalman滤波已不再适用，此时，H∞滤波作为Kalman滤波的替代方法充分体现了它的优越性。

5 结 论

本文针对具有随机时变时延和多丢包的网络系统，采用一个Bernoulli分布的随机变量来对网络环境中存在的不确定现象进行建模。利用线性矩阵不等式方法设计了H∞滤波器，并且使得滤波误差系统在均方意义下渐近稳定。通过仿真验证了所设计的状态估计方法的有效性。

[1]LucaS.Optimalestimationinnetworkedcontrolsystemssubjecttorandomdelayandpacketdrop[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，2008，53(5):1 311-1 317.

[2]李秀英，王金玉，孙书利.具有一步随机时滞和多丢包的网络系统滤波器设计[J].自动化学报，2014,40(1):155-160.

[3]LiJG，YuanJQ，LuJG.Observer-basedcontrolfornetworkednonlinearsystemswithrandompacketlosses[J].ISATransactions，2010，49(1):39-46.

[4]LiXY，SunSL.Controlfornetworkedsystemswithrandomdelaysandpacketdropouts，InternationalJournalofControl[J].AutomationandSystems，2012，10(5):1 023-1 031.

[5]孙书利.具有一步随机滞后和多丢包的网络系统的最优线性估计[J].自动化学报，2012,38(3):349-356.

[6]SunSL.Optimallinearfiltersfordiscrete-timesystemswithrandomlydelayedandlostmeasurementswith/withouttimestamps[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，2013，58(6)：1 551-1 556.

[7]ShiP，LuanXL，LiuF.Filteringfordiscrete-timesystemswithstochasticincompletemeasurementandmixeddelays[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics，2012，59(6)：2 732-2 739.

[8]ZhangBY，ZhengWX.Filterdesignfornonlinearnetworkedcontrolsystemswithuncertainpacket-lossprobability[J].SignalProcessing，2012,92(6):1 499-1 507.

[9]YangRN，ShiP，LiuGP.Filteringfordiscrete-timenetworkednonlinearsystemswithmixedrandomdelaysandpacketdropouts[J].IEEETransactionsonAutomaticControl，2011，56(11)：2 655-2 660.

H∞state estimation for network systems with random varying time delays and data packet dropouts

LI Xiu-Ying, ZHANG Xi-Mu

(School of Electronic Engineering, Heilongjiang University, Harbin 150080, China)

This paper investigates theH∞filterdesignproblemforaclassofnetworksystemswithrandomvaryingtimedelaysanddatapacketdropouts.Becausethemeasuredoutputofthesystemistransmittedthroughnetworkstotheremotefilterafterdatapacking,thedatapacketwillunavoidablybereceivedwithdelaysevenbelostduringthetransmission.Moreover,thetimedelayoccursrandomlyanditisboundedandthedatapacketmaybelostconsecutively.Anewmodelispresentedtodescribethenetworkinducedphenomenaofrandomdelaysandmultiplepacketdropoutssimultaneouslyinthispaper.Basedonthenewmodel,anH∞filterisdesignedtomakethefilteringerrorsystemasymptoticallystableinthemean-squaresenseandguaranteeaprescribedH∞performance.Theparametersofthefilterareobtainedbysolvingthelinearmatrixinequality(LMI).Thenumericalexampleisgiventoillustratetheeffectivenessoftheproposedmethod.

H∞stateestimation;datapacketdropouts;varyingtimedelays;linearmatrixinequality(LMI)

10.13524/j.2095-008x.2015.02.034

2015-03-13

黑龙江大学培育省部共建教育部重点实验室开放课题(P201401)

李秀英(1978-)，女，黑龙江伊春人，讲师，博士，研究方向：网络系统H∞滤波和控制，无模型控制理论与应用等,E-mail:xiuxiu4480@sina.com。

TP

A

2095-008X(2015)02-0080-06