创意折叠桌的计算机设计

摘要：根据空间解析几何知识，利用计算软件Maple研究创意折叠桌设计。探讨在设定平板尺寸及边缘线形状的条件下，平板折叠桌加工设计问题，如编写设计、加工参数计算程序，可方便地计算出开槽长度和桌脚边缘线方程。

关键词关键词：Maple；创意折叠桌；计算机设计；开槽长度；边缘线

DOIDOI：10.11907/rjdk.143773

中图分类号：TP303

文献标识码：A文章编号文章编号：16727800（2015）002002803

基金项目基金项目：安徽省教育厅自然科学基金项目（2013kb236）

作者简介作者简介：杜源（1990-），女，安徽巢湖人，安徽理工大学计算机学院硕士研究生，研究方向为智能计算；许峰（1963-），男，安徽淮南人，安徽理工大学理学院教授，研究方向为智能计算。

0引言

2011年，荷兰设计师Robert van Embricqs 设计出了一种创意折叠桌，桌子外形由直纹曲面构成，造型美观，如图1所示。这种折叠桌的桌面呈圆、椭圆、矩形和三角形等，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，如图2所示。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度，如图3所示。

本文利用解析计算软件Maple编写设计、加工参数计算程序，研究折叠桌平板尺寸设定、边缘线加工设计问题，并计算圆形折叠桌加工设计参数。

1问题及分析

给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。桌子形状及边缘线、开槽情况、折叠过程如图1—图3。

给定平板尺寸、木条宽、桌高、钢筋位置后，木条的开槽长度及桌脚边缘线可用空间解析几何知识计算、确定。

由于圆桌面边缘点、开槽的上下端点、桌脚边缘点均在同一条木条上，所以问题解决的关键在于确定每个木条所在直线的方程。

2开槽长度计算

2.1坐标系建立

以圆桌面圆心为坐标原点，以钢筋方向为x轴，垂直于钢筋的方向为y轴，竖直方向为z轴，建立三维空间直角坐标系，如图4所示。

设第i根木条在圆上点的坐标为（x0i，y0i，z0i）（i=1，2，…，n），第i根木条穿钢筋位置点的坐标为（x1i，y1i，z1i）（i=1，2，…，n），第i根木条开槽上端点的坐标为（x2i，y2i，z2i）（i=2，3，…，n-1），第i根木条桌脚边缘点的坐标为（x3i，y3i，z3i）（i=1，2，…，n）。

2.2圆桌面木条长度计算

由于圆桌面由锯齿型木条拼接而成，所以构成圆桌面的锯齿型木条的长度只能近似计算。

构成圆桌面的第1根木条的长度决定了桌面的高度，为了节省木料，应使第1根木条的长度尽可能短。

设圆周与第1根木条垂边的交点坐标为（L1，y1），则应使y1足够大。本文选取的y1使得交点上方垂边的长度为交点下方垂边长度的18。此比例仅对前几个木条长度有一定影响，对后续结果影响不大。

经计算，构成圆桌面的锯齿型木条的长度如表1所示。

另10根木条与上述10根对称，长度对应相等。

2.3木条直线方程、开槽上端点和边缘点坐标及开槽长度计算

描述折叠桌动态变化过程问题的基础是求取每根木条所在的直线方程。

计算直线方程的过程如下（见图4）：

（1） 根据圆的方程及木条的长度求出坐标（x0i，y0i，z0i）（i=1，2，…，n）；

（2） 由于钢筋平行于x轴，所以：

x1i=x0i，y1i=y0i+r12sinθ，z1i=-r12cosθ；（1）

（3） 根据（x0i，y0i，z0i），（x1i，y1i，z1i）得出每根木条所在的直线方程的对称式和参数方程[3]。

根据每根木条所在的直线方程，利用长度Li，可进一步求出每根木条开槽上端点坐标（x2i，y2i，z2i）和桌脚边缘点坐标（x3i，y3i，z3i）。

求出（x1i，y1i，z1i）和（x2i，y2i，z2i）间的距离，即得中间n-2根木条的开槽长度，如表2所示。

表2开槽长度数据

序号[]1[]2[]3[]4[]5[]6[]7[]8[]9[]10

开槽长度[]0[]5.06[]8.47[]11.23[]13.52[]15.40[]16.89[]18.03[]18.82[]19.27

另10根木条与上述10根对称，开槽长度对应相等。

3桌脚边缘线数学描述

根据程序求出桌脚边缘点的坐标：

x=＼[25，22.5，20，17.5，15，12.5，10，7.5，5，2.5，0，-2.5，-5，-7.5，-10，-12.5，-15，-17.5，-20，-22.5＼]；

y=＼[29.29，21.20，17.56，15.58，14.54，14.04，13.84，13.80，13.83，13.86，13.86，13.83，13.80，13.84，14.04，14.54，15.58，17.56，21.20，29.29＼]；

z=＼[-50.00，-47.50，-44.54，-41.77，-39.36，-37.37，-35.79，-34.60，-33.78，-33.31，-33.31，-33.78，-34.60，-35.79，-37.37，-39.36，-41.77，-44.54，-47.50，-50.00＼]。

考虑到描述空间曲线的最佳形式为参数方程，采用下列方法进行边缘线的数学描述：

分别将x，y，z坐标对序号（记为t）进行拟合[4]，得到x，y，z关于t的近似表达式，从而获得边缘线的近似参数方程。

分别选择直线，6次多项式和2次多项式对x，y，z图形进行拟合，拟合结果如图5-图7所示。

x（t）=27.5-2.5t，调整R2=1（2）

图5桌脚边缘点x坐标拟合结果

图6桌脚边缘点y坐标拟合结果

y（t）=0.000 026 67t6-0.001 68t5+0.043 31t4-0.584 3t3+4.365 4t2-17.298 1t+42.666 5，调整R2=0.998 7（3）

z（t）=-0.189 9t2+3.987 5t-54.422 7，调整R2=0.997 3（4）

图7桌脚边缘点z坐标拟合结果

桌脚边缘线的近似参数方程为：

x（t）=27.5-2.5ty（t）=0.000 026 67t6-0.001 68t5+0.043 31t4-0.584 3t3+4.365 4t2-17.298 1t+42.666 5z（t）=-0.189 9t2+3.987 5t-54.422 7，（5）

上述曲线与桌脚边缘点对照如图8所示。

图8桌脚边缘曲线与边缘点对照

从调整R2和图8可以看出，方程（5）非常精确地描述了桌脚边缘线。

4折叠桌动态变化过程描述

由于折叠桌在折叠过程中高度逐渐增加，而桌脚的边缘线随之发生变化，所以描述折叠桌动态变化过程的合理方式是描述桌脚的边缘线随桌子高度的变化过程。

利用计算软件Maple编程，将桌子高度h从1依次增加到50（以步长1），50条边缘线即描述了折叠桌从开始折叠到最终成型的动态变化过程，如图9所示。

最后得出此时桌子的仿真效果如图10所示。

图9桌脚边缘曲线随高度的动态变化

图10折叠桌仿真

5结语

创意折叠桌自2011年问世以来，日益受到设计人员的重视，已有越来越多的设计人员开始研究创意折叠桌的计算机优化设计问题。本文根据空间解析几何知识，利用计算软件Maple编写了设计及加工参数计算程序，研究设定平板尺寸及边缘线形状条件下平板折叠桌的加工设计问题，并用程序计算了圆形折叠桌的加工设计参数，可供创意折叠桌设计人员借鉴。

参考文献参考文献：

＼[1＼]中国设计之窗＼[EB/OL＼]. http：//www.333cn.com/industrial/sjxs/133003.html.

＼[2＼]2014年全国大学生数学建模竞赛B题＼[EB/OL＼]. http：//www.madio.net/forum.php.

＼[3＼]吕林根， 许子道. 解析几何＼[M＼].北京：高等教育出版社， 2006.

＼[4＼]肖信. Origin8.0实用教程＼[M＼].北京：中国电力出版社，2009.

＼[5＼]何青. Maple教程＼[M＼].北京：科学出版社，2010.

责任编辑（责任编辑：陈福时）