张量与矩阵乘积的递推算法及相关问题

邢鹏超， 姜健飞

(东华大学 理学院， 上海 201620)

张量与矩阵乘积的递推算法及相关问题

邢鹏超， 姜健飞

(东华大学 理学院， 上海 201620)

在张量研究中乘法运算起着重要的作用，而由于张量的复杂性,由定义来计算张量的乘法十分不便.给出一种张量与矩阵相乘的递推算法，并特别将此算法应用于讨论四阶张量的相关运算,从而得到二元四次型的一种合同标准形,并给出二维四阶张量正定性的一个判定定理.

张量乘法； 张量的正定性； 递推算法

这里

文献[3]将四阶张量看作一个从二阶张量到二阶张量的线性变换,从而张量的乘法即线性变换的乘法.但是通过对实际例子的研究发现,按文献[2-3]定义的张量乘法,其张量正定性均与对应四次型的正定性不一致[4].

(1)

本文将考虑做正则变换X=TY(其中T为正则阵)将f(X)化为具有某种“简单、规范、实用”形式的g(Y),并利用g(Y)来判定f(X)的正定性.由于用式(1)给出的乘法概念计算十分不便,故本文首先结合文献[2, 5-6]的张量乘法定义，给出一种具有递推形式的张量与矩阵相乘的简化算法(如同行列式降阶计算),再讨论二元四次型的一种合同标准形以及二维四阶超对称张量正定性的判定定理.

1 张量与方阵相乘的递推算法

证毕.

此定理给出了关于m阶张量与方阵相乘的递推关系式.由此关系式即可通过矩阵乘法来实现三、四阶张量与方阵的乘法运算,从而简化了直接由式(1)计算的繁琐过程.

证毕.

由推论1.1给出的递推公式计算得

又若直接由定义计算,则有

两种结果一致,但直接由定义计算的过程要繁琐得多,特别是无法一次性得到完整结果.

证明 (1)由定理1.1知

故得

从而

证毕.

由定理1.1及其推论,给出初等矩阵对n维四阶张量作用的相关结果.

证明 (1) 应用定理1.1的推论1.2(1)给出的公式

(Ⅰ) 由Pu v=

同理可得其他两式;

同理可得另一式;

(Ⅲ) 由

同理可得另两式.

(2) 应用定理1.1的推论1.2(2)给出的公式,同(1)证法可得，此略.

证毕.

又在定理1.2(2)(Ⅲ)中取u=2,v=1,同样可得：

2 二维四阶张量的一种合同标准形

定理2.1 对给定二元四次型

(2)

证毕.

定理2.1表明任一个二元四次型均可以通过合同变换变为一个“简单、规范、实用”的拟标准形式(2),进而可以通过这样的拟标准形来判定此二元四次型所对应的系数超对称张量的正定性.

证明 (1)和(2)显然成立.

证毕.

计算得定理2.1证明中的

计算得定理2.1证明中的

本文以“合同”关系为出发点,讨论了二维四阶张量的正定性问题.虽然尚未能得到一般n维四阶张量正定性的相关结论，但文中的方法应能起到某种抛砖引玉的作用.

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Recursion Algorithm about Product Between Tensors and Matrices and Some Related Problems

XINGPeng-chao,JIANGJian-fei

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620, China)

The product plays an important role in the study of tensors. Because of the complexity of tensors, calculations starting from the tensor’s definition are inconvenient. A recursion algorithm about the product between tensors and matrices is proposed. Especially, this algorithm is applied to discuss the related operation of the fourth-order tensors. Then, a congruent standard form of binary-quartic-form is achieved, so as to provide a judging theorem for the positive of the order four dimension two tensors.

tensor product; tensor positive; recursion algorithm

1671-0444(2015)05-0711-07

2014-05-27

邢鹏超(1989—)，男，山东威海人，硕士研究生，研究方向为应用数学. E-mail: 393796781@163.com 姜健飞(联系人)，男，副教授，E-mail: jjf@dhu.edu.cn

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