几何Levy市场下的最优投资与超额损失再保险

邓迎春　尹细宏

摘要 研究了跳扩散模型下的最优超额损失再保险与投资问题，其中以最大化保险公司终端财富的期望指数效用为目标.假定保险公司可以将资产投资到风险市场和无风险市场，风险资产的瞬时收益率由几何Levy 过程刻画. 利用随机控制理论，得到了最优策略及其值函数的精确表达式，并通过算例分析得到了最优策略与相关参数的关系.

关键词随机控制；投资组合；几何Levy过程；指数效用函数；超额损失再保险

中图分类号O2313文献标识码A文章编号10002537（2015）01006407

近些年来，各种风险模型下的最优投资与再保险问题得到了许多学者的青睐，许多学者站在保险公司的立场考虑了各种目标下的最优再保险与投资问题，其中最常用的目标函数有最大化保险公司终端财富期望效用和最小破产概率，利用随机控制理论为主要工具进行了一系列研究，得到了一系列丰富结果.文献[1～2]分别研究了扩散模型和跳扩散模型下的最优投资问题，求得了以终端财富的指数期望效用最大、破产概率最小两个目标下的最优投资策略的解析式.文献[3]基于扩散模型下讨论了最优比例再保险问题， 求得以最小破产概率为目标的最优再保险策略的解析式， 并通过实例阐述了文章主要结论.此外，许多学者还考虑了其他最优值问题.如均值方差问题等[46].

在此研究基础上， 很多学者将再保险与投资相结合， 研究了在不同的投资市场采用不同的再保险方法的最优再保险与投资问题.文献 [7]研究了跳扩散模型下的最优比例再保险与投资问题，其风险资产的价格由CEV模型来刻画，以终端财富期望指数效用最大为目标，得到了最优策略与值函数的解析式.文献[8]研究了以最大化终端财富期望指数效用为目标的最优比例再保险与投资问题，其中风险资产的价格由O—U过程刻画，分别得到了扩散模型和跳扩散模型下的最优策略与值函数的解析式.文献[9]基于跳扩散模型，考虑了最优比例再保险与投资问题，风险资产的价格由几何Levy过程刻画，得到了最优策略与值函数的解析式.文献[10]考虑了扩散模型下的最优超额损失再保险与投资问题，以终端财富期望指数效用最大为目标，其风险资产的价格由CEV模型刻画，求得了最优策略与最优值函数.

以上文献或只考虑了跳扩散模型下的比例再保险与投资问题，或只考虑了扩散模型下的超额损失再保险与投资问题，而没有考虑跳扩散模型下的超额损失再保险与投资问题.因此本文研究了跳扩散模型下的超额损失再保险与投资问题，以最大化保险公司终端财富的指数期望效用值为目标，假定允许保险公司将资产投资到风险市场和无风险市场，其风险资产的价格由几何Levy过程刻画，利用随机控制理论，求解相应的HJB方程，得到了最优策略和最优值函数的解析式.

1模型的建立和介绍

设（Ω，F，P，{Ft}0≤t≤T）是一个满足通常条件的完备概率空间， 其中T为给定的一个正有限投资期限；Ft 表示到时刻t的信息流.假设文中所引用的随机过程均为定义在概率空间上的适应过程.

假设保险公司的盈余过程如下：

R（t）=x+ct-∑N1（t）i=1Yi+βW（1）t，

其中x≥0表示初始资产，c表示的是保险率，{N1（t），0≤t≤T}表示的是一个强度为λ1的齐次泊松过程；N1（t）表示时刻t发生的索赔次数，{Yi，i=1，2，…}是一列独立同分布的有界随机变量；F（y）表示Yi的分布函数，D=inf{y：F（y）≥1}<+∞，假定有 ，F（0）=0，当00表示的保险公司的相对安全负荷系数.

用a表示保险公司的固定的超额损失预留水平，Yia = min{ Yi ，a} 表示由保险公司所承担的索赔.加入再保险之后保险公司的盈余过程为

a（t）=x+cat-∑N1（t）i=1Yai+βW（1）t，

其中保费率

ca=（1+η）λ1μ∞-（1+θ）λ1（μ∞-EYai）=（η-θ）λ1μ∞+λ1（1+θ）EYai.

其中θ表示再保险的安全负荷系数，假设θ>η，根据文献[11]，这个盈余过程at能被下面的扩散过程逼近

dRa（t）=λ1（θμ（a）+（η-θ）μ∞）dt+λ1σ（a）dB（t）+βW（1）t，

其中{B（t），t≥0}为一标准布朗运动且

μ（a）=EYai=∫a0（1-F（x））dx=∫a0（x）dx，

σ2（a）=E（Yai）2=∫a02x（1-F（x））dx=∫a02x（x）dx.

另外，假设保险公司在金融市场投资两种资产，分别为无风险资产和风险资产.其中无风险资产S（t）的价格由下面模型描述：

dS（t）=rS（t）dt，

其中r>0表示无风险资产利率.对于风险资产的价格P（t），考虑由一个几何Levy过程描述，具体表达方式如下：

dP（t）=P（t）（μ1dt+σ1dW（2）t+∫RzN（dt，dz）），

其中W（2）t都表示为一标准布朗运动，其中μ1≥r，σ1都是正常数，∫t0∫RzN（ds，dz） 是一个复合泊松过程，有

∫t0∫RzN（ds，dz）=∑N2（t）i=1Zi，

{N2（t），0≤t≤T}是一个参数λ2>0的泊松过程，{Zi，i=1，2，…}是一列独立同分布的随机变量.分布函数为G（z），密度函数g（z）.假定{Yi，i=1，2，…}， {N1（t），0≤t≤T}，{Zi，i=1，2，…}和{N2（t），0≤t≤T}之间是相互独立的，W（1）t和W（2）t的相关系数为ρ，B（t）与W（1）t， W（2）t相互独立.

令b（t）表示保险公司在t时刻投资在风险市场中的数量，其余的资产则都投资在无风险市场中.记π={π（t）=（a（t），b（t））：t∈[0，T]}表示保险公司在t时刻采取的再保险和投资策略.采用策略π之后，保险公司的财富盈余过程X（t）为

dX（t）=b（t）dS（t）S（t）+（X（t）-b（t））dP（t）P（t）+dRa（t）=

[b（t）μ1+（X（t）-b（t））r+λ1（θμ（a）+（η-θ）μ∞）]dt+b（t）σ1dW（2）t+

λ1σ（a）dB（t）+βdW（1）t+b（t）∫RzN（dt，dz））.

一个策略π，假设满足t∈[0，T]，（a（t），b（t））关于Ft是循序可测的，a（t）∈[0，D]，E[∫∝0b2（t）dt]<∝则称策略是可行的，定义Π表示所有可行策略，Π_={b（t）：π∈Π，a（t）=D}.

2最终财富的效用最大化问题

本文假设保险公司的目标是最大化终端财富的期望效用值，即T时刻盈余的期望效用值，保险公司考虑如下指数效用函数

U（x）=ξ-kve-vx，

其中ξ，k>0，v>0为连续常数，v为绝对风险厌恶系数.指数效用函数是在“零效用”的准则下，唯一能得出独立于保险公司盈余水平的公平保费的函数.对于给定策略 π={π（t）=（a（t），b（t））}，定义t的目标函数为

Jπ（t，x）=E[U（X（T））|X（t）=x]，

最优价值函数V为

V（t，x）=supπ∈∏Jπ（t，x），

保险公司的目标函数就是找到一个最优策略π=（a（t），b（t））使得Jπ（t，x）=V（t，x） ，其中a（t）称为最优再保险策略，b（t）称为最优投资策略.根据文献[12]可知，如果价值函数V（t，x）是一二阶连续可微的函数，则V（t，x）满足以下HJB方程

supπ∈∏Λa，bV（t，x）=0，（1）

有边界条件

V（T，x）=ξ-kve-vx，（2）

其中

Λa，bV（t，x）=Vt+[bμ1+（x-b）r+λ1（θμ（a）+（η-θ）μ∞）Vx+12[b2σ21+

λ1σ2（a）+β2+2bσ1βρ]Vxx+λ2∫+∞-∞[V（t，x+bz）-V（t，x）]G（dz）.

由文献[2]可知HJB方程的解即为所求问题的最优解.

3最优结果

受文献[1]和[2]的启发，可以猜想满足边界条件（2）和（1）的解有如下形式

V（t，x）=ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h（T-t）]，（3）

其中h（·）是一个待确定的函数，h（·）确定之后问题（10）式的解也就求得.由边界条件（11）式可得h（0）=0.根据（3）式

Vt=[V（t，x）-ξ][vxrer（T-t）-h′（T-t）]，

Vx=[V（t，x）-ξ]（-ver（T-t）），

Vxx=[V（t，x）-ξ]v2e2r（t-t），

∫+∞-∞[V（t，x+bz）-V（t，x）]G（dz）=[V（t，x）-ξ]∫+∞-∞[exp（-bzver（T-t））-1]G（dz）. （4）

将（4）代入（1）式，可以把最优问题转化为

infπ∈∏g（a，b）=0， （5）

其中

g（a，b）=-h′（T-t）-ver（T-t）[bμ1-br+λ1θμ（a）+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）

[b2σ21+λ1σ2（a）+β2+2bσ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-bzver（T-t））-1]G（dz）.

关于函数g（a，b）关于a求导.并令它等于零，有

（-θ+ver（T-t）a（t））（a（t））=0，

先考虑a（t）∈[0，D），有

a（t）=θve-r（T-t），

关于函数g（a，b）关于b求导，并令它等于零，有

μ1-r-ver（T-t）（b（t）σ21+σ1ρβ）+λ2∫+∞-∞zexp（-b（t）zver（T-t））G（dz）=0. （6）

由文献[2]可得以下引理.

引理1方程（6）有一个有限实根.

由方程（6）与引理1可知就是要求最优投资策略b（t），将a（t）和b（t）代入（5）式有

h′（T-t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1θ∫θve-r（T-t）0（x）dx+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1∫θve-r（T-t）02x（x）dx+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）. （7）

由a（t）=θve-r（T-t）θv和D≤θv两种情况考虑.

（i）当D>θv时，易知m>T，当0≤t≤T

h（T-t）=-∫TtJ（s）ds，

其中

J（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1θ∫θve-r（T-t）0（x）dx+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1∫θve-r（T-t）02x（x）dx+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）.

（ii）当D≤θv时，易知m≤T，因此当0≤t

h1（T-t）=∫t0J（s）ds+c1，

其中c1可由后面得出.

当D≤θv和m≤t≤T，取a（t）=D，考虑（5）式可得

infπ∈∏g（D，b）=0，

其中

g（D，b）=-h′（T-t）-ver（T-t）[bμ1-br+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）

[b2σ21+λ1σ2∞+β2+2bσ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-bzver（T-t））-1]G（dz）.

关于函数g（a，b）关于b求导，并令它等于零，有

μ1-r-ver（T-t）（b（t）σ21+σ1ρβ）+λ2∫+∞-∞zexp（-b（t）zver（T-t））G（dz）=0. （8）

由引理1可知方程（8）有一个实根.因此有

h′（T-t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）

[2（t）σ21+λ1σ2∞+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）， （9）

并有边界条件h（0）=0，则（9）式有如下形式的解

h2（T-t）=-∫Ttl（s）ds，

其中

l（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r0+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1σ2∞+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz），

得到c1，利用V（x，t）在t=m处连续，即有

h1（T-m）=h2（T-m），

可得到

c1=-∫Tml（s）ds-∫m0J（s）ds.

定理1满足方程式和边界条件的解由V（t，x）给出，对应的最优策略π给出，其中

（i）当D>θv时，有

V（t，x）=ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h（T-t）]，

π=（a（t），b（t））=（θve-r（T-t），（t）），

（ii）当D≤θv时，有

V（t，x）=ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h1（T-t）]，0≤t

ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h2（T-t）]，m≤t≤T，

π=（a（t），b（t））=（θve-r（T-t），（t）），0≤t

（D，（t）），m≤t

其中

h（T-t）=-∫TtJ（s）ds，h2（T-t）=-∫Ttl（s）ds，c1=-∫Tml（s）ds-∫m0J（s）ds，

J（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1θ∫θve-r（T-t）0（x）dx+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1∫θve-r（T-t）02x（x）dx+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz），

l（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r0+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+λ1σ2∞+β2+2（t）σ1βρ]+

λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）.

4数值例子与经济解释

本文通过具体的数值例子对最优再保险策略和最优投资策略与相关参数的关系进行了分析，下文给出在当D>θv时情形下的相应问题的经济解释.D≤θv情形下的敏感度分析类似于D>θv的情形.

假定索赔Y服从参数为1的指数分布，密度函数为

f（y）=e-y，y≥0.

风险投资的价格过程的跳跃尺度Z具有以下密度函数

g（z）=2pe-2z，z≥0，3qe3z，z<0.

其中p，q>0，p+q=1分别表示向上跳及向下跳的概率.则（8）式变为

μ1-r+2λ2p[2+b（t）ver（T-t）]2-3λ2q[3-b（t）ver（T-t）]2-ver（T-t）（b（t）σ21+σ1ρβ）=0.

4.1最优超额损失再保险策略

对于最优再保险策略的分析，给定基本参数值T=10，r=0.03，θ=0.3，v=0.05.由图1～3可知再保险a（t）随时间t增大而增大.由图1～2可知a（t）是v，r的减函数，是θ的增函数.也就是说，当风险厌恶系数v或无风险资产的利率r增大时，保险公司会采取保守的策略，从而预留水平a（t）也就越小.当再保险公司的安全负荷系数θ越大时，保险公司自身的安全负荷会越低，因此预留水平a（t）会增大.

图1v对a（t）的影响图2r对a（t）的影响 图3θ对a（t）的影响

Fig.1The effect of v on a（t） Fig.2The effect of r on a（t） Fig.3The effect of θ on a（t）

4.2最优投资策略

对于最优投资策略的分析，给定基本参数值T=10，p=23，q=13，λ2=1，ρ=0，β=1，v=0.15，σ1=0.2，r=0.04，μ1=0.1. 由图4～6可知最优投资策略b（t）随时间t增大而增大.b（t）是关于v，r，σ1的减函数.也就是说，无风险资产的利率r、风险厌恶系数v、风险资产的波动率σ1越大时，保险公司投资到风险市场的资产数量就越少，因此b（t）越小.

图4v对b（t）的影响 图5r对b（t）的影响图6σ1对b（t）的影响

Fig.4The effect of v on b（t） Fig.5The effect of r on b（t）Fig.6The effect of σ1 on b（t）

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（编辑陈笑梅）