例谈一题多解

董明主

（安徽省芜湖县一中）

一题多解有利于开发学生的智力，培养学生的发散性思维，还可以培养学生分析问题的能力，提高运用数学知识解决物理问题的技能。

题目：如图1 所示，一质点自倾角为θ 的斜面的上方点O，沿一光滑斜槽OA 下滑.欲使此质点到达斜面所需的时间最短，则斜槽OA 与竖直线OB 所成的角β 应为何值？

图1

图2

图3

解法一：如图2 所示，作一过点O 且与斜面相切的圆，切点为A，圆心为O1，OB 为过点O 的一条直径，如图所示。由结论可知，从点O 沿不同的光滑斜槽到达圆周上各点的时间相同，沿光滑斜槽OA 到达A 也就到达斜面，而沿其他不同的斜槽到达圆周上的时间虽然相同，但没有到达斜面，不符合题意。所以，沿OA 斜槽所需的时间最短。

如图连接O1A，∠AO1B=θ，得∠AOB=θ/2，即∠β=θ/2

解法二：如图3 所示，由O 点向斜面引垂线OC，设OC 的长为b（定值），沿任一光滑槽OA 到达斜面所用时间为t，OA 与竖直线OB 所成夹角为β，由牛顿第二定律，沿OA 下滑的加速度a=gcosβ，OA=b/cos（θ－β） OA=at2/2

根据不等式可得当β=θ－β 即β=θ/2 时，t 最小。

解法三：基于解法二的结果

令分母f（β）=cosβcos（θ－β）=cosβ（cosθcosβ＋sinθsinβ）=cos2βcosθ＋sinθ（sin2β）/2

对f（β）求导可得：f′（β）=2cosβ（－sinβ）cosθ＋sinθ·cos2β

当f 取得极大值时，则f′=0

即sinθ·cos2β=2cosβ·sinβ·cosθ

化简sinθ·cos2β=cosθ·sin2β 得到tanθ=tan2β，因为β、θ<90°

所以θ=2β 即β=θ/2

解法四：基于解法二的结果，令y=cosβcos（θ－β），然后和差化积可得y=cosθcos（θ－2β）

因为θ 为定值，所以当cos（θ－2β）=1 即θ=2β 取得最大值时，y也取得最大值，t 取得最小值。