伴随矩阵的若干性质及其在解题中的应用①

2015-04-14 08:06张丽丽

佳木斯大学学报（自然科学版） 2015年5期

张丽丽

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

0 引言

伴随矩阵在矩阵运算中起着非常重要的作用，它是由方阵A 唯一确定的，因此伴随矩阵A*与原矩阵A 必定存在着一定的联系，在高等代数中我们已经详细的学习了矩阵的性质，这些性质能否平行的运用到伴随矩阵中来，伴随矩阵是否还有它自身的一些性质，下面将逐一进行探讨.

1 伴随矩阵的定义

2 伴随矩阵的性质

定理［2］n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A 非退化，即，且

推论［3］AA*=A*A=|A|E，E 为n 阶单位矩阵.

性质1 设A 为n 阶矩阵，则有

证明: 若r(A)=n 时，矩阵A 可逆，由定理得r(A－1)=r(A)=n，即有r(A*)=n;

若r(A)=n－1 时，也就是A 中有n－1 阶非零子式，A*中有非零元素，从而r(A*)≥1.由定理得|A|=0，即AA*=| A| E =0.故r(A)+r(A*)≤n，再由r(A)=n－1 得r(A*)≤1，因此r(A*)=1.

若r(A)＜n－1 时，则A 中所有n－1 阶子式全为0，即A*为零矩阵，故r(A*)=0.

性质2 设A 为n 阶矩阵，则|A*|=|A|n－1.

证明: 当A 可逆时，因为A*=|A|A－1，故|A*|=|A|A|－1|=|A|n|A|－1=|A|n－1.当A 不可逆时，|A|=0，故|A*|=0，可得|A*|=|A|n－1.

性质3 A*可逆当且仅当A 可逆，若A 可逆，则(A*)－1=(A－1)*.

证明:(A*)－1=(| A| A－1)－1=| A| A，(A－1)*=| A| (A－1)－1=| A|－1A，故(A*)－1=(A－1)*.

性质4 (A*)T=(AT)*

证明:(AT)*=|AT|(AT)－1=|A|(A－1)T=(|A|A－1)T=(A*)T

性质5 设k 为常数，(kA)*=kn－1A*.

证明:(kA)*=| kA| (kA)－1=kn| A|·k－1A－1=kn－1A*

性质6 (AB)*=B*A*.

2)|A|=0，|B|=0 时，令A(x)=xE+A，B(z)=xE+B，只要x 充分大，A(x)与B(x)都可逆，所以(A(x)B(x))*=(B(x))*(A(x))*.式中的元素都是关于x 的多项式，由于x 充分大时对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意x 都成立.取x =0 时，得(AB)*=B*A*.

性质7 若A 是可逆矩阵，λ 是其特征值，α 是A 的属于λ 的特征向量，那么A*的特征值为λ－1|A|，α 是A*的属于特征值λ－1|A|的特征向量.

证明: 因A 可逆，故λ ≠0，由Aα=λα，左乘A*得，A*Aα=λA*α，故A*α=λ－1|A|Eα=λ－1|A|α.

性质8 若A 是正定的，则A*也是正定的.

证明: 因A 正定，故存在可逆矩阵P，使PTAP=E，则有(PTAP)*=E*，即P*A*(PT)*=E，故A*也是正定的.