空间变胞机构运动及误差的全构态四元数模型

张满慧, 胡逢源, 胡胜海, 张保平, 谢婷婷

(1. 哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001；2. 上海船舶设备研究所，上海 200031)

空间变胞机构运动及误差的全构态四元数模型

张满慧1, 胡逢源2, 胡胜海1, 张保平1, 谢婷婷1

(1. 哈尔滨工程大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001；2. 上海船舶设备研究所，上海 200031)

空间变胞机构的拓扑结构可变特性使得建立全构态模型是其运动及误差研究的一个难题，而现有欧拉参数运动模型中存在数学奇异和非奇异退化等问题，因此提出了采用罗德里格-哈密顿参数建立空间变胞机构的全构态模型。基于四元数理论建立了任意构态的运动模型，推导了相邻构态广义运动变量的递推关系。研究了结构误差、运动变量误差及运动副间隙对理想模型的扰动，构建了统一的范式表示机构的全构态四元数模型。通过典型实例的理论计算和仿真分析对比结果表明，所建模型的有效性，它既可分析空间变胞机构的全构态运动特性，也可研究构态变换前后的运动特性变化，为变胞机构的工程应用提供了理论基础。

空间变胞机构；四元数；全构态；运动；运动误差；间隙

变胞机构是一类通过自身拓扑结构重组和重构满足外界工况变化以及不同工作任务需求的新型机构[1]。由于变胞机构需要在不同拓扑构态间进行切换，在其运动学研究中，结合变胞特性[2]建立统一的范式表示运动模型是一个难点。同时，结合变胞特性建立运动误差模型也是亟待解决的问题。李端玲等基于李群方法建立的运动模型能够表达变胞机构的构态及有效构件数目的变化[3-4]。金国光将矢量法和矩阵法相结合，建立了变胞机构单一构态的运动模型[5]。吴艳荣等采用变换矩阵推导单一构态的运动递推关系，将运动学分析与构态描述结合推导运动模型[6]。杨毅等基于有限元方法对平面变胞机构进行运动学建模和模块化编程[7]。侯少毅等采用影响系数法建立相邻构态影响矩阵的递推关系和运动学方程[8]。胡胜海等基于旋量方法建立了变胞机构的运动及位姿误差模型[9]。然而现有运动模型都是采用欧拉参数获得的，当机构存在大幅度姿态运动时会出现数学奇异问题，不利于变胞机构的运动学和运动误差分析。

因此，基于四元数法[10-11]对空间变胞机构进行运动学分析。结合构态变换特性推导相邻构态广义运动变量的递推关系，构建统一的范式表示全构态运动模型。分析结构误差、运动变量误差及运动副间隙对运动模型的综合影响，推导了全构态运动误差模型。对一种空间变胞机构进行理论计算与运动仿真验证所建模型的有效性。

1 空间变胞机构全构态运动的四元数模型

1.1 任意构态的运动四元数模型

对于含c(c>1)个构态的空间变胞机构，任意构态ζ(ζ=1,2,…,c)的运动副轴线空间几何关系如图1所示。

图1 构态ζ的轴线空间几何关系Fig. 1 Axis geometrical relationships of configuration ζ

基于四元数法的运动关系描述[10]，可知惯性系Oxyz中Ki和Kj中点的位置矢量四元数映像为

(1)

(2)

为便于模块化分析，将式(1)改写为

(3)

(4)

由式(3)可得，轴线Kj在惯性系下位置矢量四元数映像递推公式为

(5)

式中：Pi,i+1表示惯性系中轴线Kj支链上的旋转变换四元数矩阵式。

(6)

由图1可知，轴线Kj相对于惯性系坐标轴的旋转变换四元数为

(7)

式中：Pt,t+1表示由坐标轴Ox到轴线Kj单支链上的旋转变换特征四元数。

(8)

若构态ζ含有eζ个闭环约束，则约束方程为

Hζqζ=Pζ

(9)

式中：Hζ是构态ζ的约束方程系数矩阵，阶数为eζ×n；qζ是广义运动变量列向量，阶数为n×1；Pζ是约束方程已知列向量，阶数为n×1。

基于上述分析，联立式(5)～(9)即可得空间变胞机构任意构态ζ的轴线运动学方程。当ri表示构件i上Bi点到轴线Ki中点的矢径时，即可得构态ζ中任意点的运动学方程。

1.2 相邻构态广义运动变量的递推模型

通过现有空间变胞机构的拓扑结构研究成果可知其构态变换方式主要为构件合并和分离[12-13]，这种变胞特性也最适合于工程应用。此时，相邻构态ζ和ζ+1的变换矩阵为

(10)

式中：Uζ表示构件变化矩阵；Eζ表示消除行列矩阵[12]，二者都是初等矩阵。

式(10)描述空间变胞机构拓扑结构邻接关系变化，对应相邻构态的广义运动变量改变。假设构态ζ中构件数为Nζ，运动链环数为Lζ，则运动副轴线数目为

tζ=Nζ+Lζ-1

(11)

1)当构态ζ为开链时，运动链环数Lζ=0且tζ

(12)

2)当构态ζ为单闭环时，运动链环数Lζ=1且tζ=Nζ。

(13)

(14)

(15)

因此，结合式(11)～(15)，即可确定相邻构态之间的广义运动变量递推模型。

1.3 全构态运动的四元数建模

首先根据1.1节建立空间变胞机构初始构态的运动模型。再由空间几何关系确定当构件合并或分离后，新产生的几何关系仍可用原来的几何关系代替，仅构件间对应的运动量发生变化(由常量变为变量或由变量变为常量)，由相邻构态运动变量的递推模型得到下一构态的广义运动变量。当轴线几何关系不变时，运动关系也不发生改变，添加或删除相应的约束方程θi(t)=C，即可直接递推得到相邻构态的运动模型。

在空间变胞机构全构态运动过程中，存在两种运动学模型变换控制方式。

1)由时间历程控制变换。

通过主动控制stζ时刻的变量控制函数变化，实现由构态ζ到构态ζ+1的运动模型变换。变胞机构的运动时间历程如图2所示，且其可表示为

(16)

图2 空间变胞机构的时间历程Fig. 2 Time history of spatial metamorphic mechanism

2)由约束方程控制变换

定义附加约束方程表示对当前构态不起约束作用，而对相邻构态起约束作用的控制方程。其意义是当方程满足时，实现构态瞬时切换，进入下一构态且改变运动学模型。舱门开关变胞机构[14]是此类方式的典型应用。

附加约束方程的广义表达式为

FHζqζ=FPζ

(17)

式中：FHζ是附加约束方程系数矩阵，其阶数对应构态ζ+1的拓扑结构；FPζ是已知约束列阵。

通过上述分析，可构建统一的方式表示空间变胞机构全构态运动学模型为

(18)

(19)

综上所述，联立式(18)和(19)可得空间变胞机构全构态运动的四元数模型。

2 空间变胞机构运动误差的全构态四元数模型

由于结构误差、运动变量误差[15]以及运动副间隙的影响，空间变胞机构实际构态与理想构态之间的运动学模型存在差异。运动误差研究即分析误差参数及运动副间隙对理想运动的影响，建立全构态运动误差模型。为简化模型做出如下假设：

1)构态变换时刻在理想构态运动和实际构态运动中不发生变化；

2)忽略间隙处的柔性变形、摩擦及碰撞等因素的影响；

3)忽略各构件在运动过程中的柔性变形。

2.1 运动副间隙的误差四元数模型

(20)

(21)

上述运动副间隙矢量折算模型适用于所有类型的运动副间隙，仅是有些折算分量不存在。

图3 运动副间隙矢量的折算模型Fig. 3 The conversion model of kinematic pair clearance

2.2 任意构态运动误差的四元数模型

(22)

(23)

(24)

由以上分析可推导出轴线Kj在惯性系中运动误差模型为

(25)

综上所述，联立式(22)～(25)即可得空间变胞机构任意构态ζ的运动误差模型。

2.3 任意构态运动误差的四元数模型

对于空间变胞机构，结构误差参数是常量，不存在递推关系。运动变量误差是时间函数，其递推关系可由广义运动变量的递推关系确定。且主动关节的运动变量误差由输入函数控制，被动关节的运动变量误差由主动关节和约束方程控制。间隙矢量折算的误差参数是状态变量，可视为位置函数或运动变量的函数，其递推关系由约束方程和几何关系确定。得出相邻构态间误差参数的递推关系为

(26)

因此，联立式(22)～(26)建立空间变胞机构的全构态运动误差模型为

(27)

3 应用实例分析

3.1 全构态运动及其运动误差的四元数模型

一种典型的空间变胞机构[13]如图4所示，kj(j=1,2,…9)为各轴线Kj中点，θj为轴线Kj处的二面角。各个三角形构件短边为l，顶角α，四边形构件边长为s和h。为便于分析，令α为90°，并以轴线K1、K6及K8交点为原点O，建立惯性坐标系Oxyz。此时Ox与轴线K1重合，轴线K1和K6位于平面Oxy。图4所示的空间变胞机构由初始构态至末态经历4次变换过程，其变胞方式为构件合并。以四边形构件9的角点p9为对象，直接建立全构态运动模型为

(28)

式中：各矩阵元素由于篇幅限制，省略具体地显式表达式；B(t)由附加约束方程条件时间点确定。

图4 一种典型的空间变胞机构Fig. 4 A typical spatial metamorphic mechanism

初始构态为开式链展开构态，不存在机构约束方程。但其附加约束方程为

(29)

式中：T是惯性系内矢径坐标。

当附加约束方程式(29)成立时，机构瞬时变换为构态2—含三支链的空间机构。其运动学方程与初始构态相同。其约束及附加约束方程为

(30)

同理，构态3—带二支链的空间机构、构态4—单自由度六面体机构及构态5—闭合空间机构的运动学方程也可用初始构态的运动学方程表示，但约束方程及附加约束方程表达式为

(31)

(32)

(33)

考虑误差参数及间隙矢量的影响，基于式(27)建立该机构的全构态运动误差模型为

(34)

3.2 理论计算与仿真分析

将式(28)和(34)所建模型在MATLAB中数值计算，并在ADAMS中建立图4所示空间变胞机构的理想模型及实际模型进行运动仿真。设定变胞机构结构及误差参数为：l=10 mm、α=90°、s=8 mm、h=7.55 mm；△l=0.05 mm、△α=0.01°、△s=0.05 mm、△h=0.05 mm。

图4所示空间变胞机构的运动副间隙矢量是由折痕偏差造成的，在全构态运行中不发生变化，将其折算为：△uj=△vj=0.02 mm,△wj=0.01 mm；△αj=△βj=△γj=0.01°。

设置运动时间为5 s，理论计算及仿真结果如图5～8所示。图5为角点p9在惯性系中全构态运动位移曲线。图6(a)、图7表示角点p9在惯性系下z向的运动学模型数值计算结果及ADAMS仿真结果曲线，图6(b)、图8表示运动误差模型的计算及仿真曲线。图中曲线对比表明，各相同参数随时间变化趋势一致，最大相对误差如表1所示。

由获得的结果可知，各个运动参数和运动误差参数的理论-仿真最大相对误差在0.005内，验证了全构态运动及误差模型的有效性，展示了其消除数学奇异的能力。同时，以上结果也表明了所建模型不仅可以展示出角点p9的全构态运动特性，也描述了其在相邻构态的运动特性变化。

图5 角点p9的位移曲线Fig. 5 The displacement curves of corner p9

(a) 角点的z向位移

(b) 角点的z向位置误差图6 角点p9的z向位移运动曲线Fig. 6 The displacement curves of corner p9 in direction z

(a) 角点的z向线运动参数

(b) 角点的z向角运动参数图7 角点p9的运动参数曲线Fig. 7 Kinematic parameters curves of corner p9

(a) 角点的z向线速度误差

(b) 角点的z向线加速度误差

(c) 角点的z向角速度误差

(d) 角点的z向角加速度误差图8 角点p9的运动误差参数曲线Fig. 8 Kinematic error parameters curves of corner p9

表1 3种模型的计算数据

4 结论

1)基于罗德里格-哈密顿参数建立了空间变胞机构全构态运动的四元数模型，包含任意构态的运动模型和相邻构态广义运动变量的递推关系。与欧拉参数模型相比，其能保持方程线性且消除数学奇异。

2)建立了空间变胞机构运动误差的全构态四元数模型，结合构建的误差四元数及误差参数的递推模型，定性地分析了结构、运动变量误差和运动副间隙对理想构态运动模型的影响。

3)以一种典型的空间变胞机构为例，通过对其理论计算与仿真分析，验证了全构态四元数模型消除数学奇异的能力，同时表明建立的模型能展示变胞机构全构态的运动特性，也可以描述相邻构态的运动特性变化。

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Kinematics and error modeling based on configuration-complete quaternion for spatial metamorphic mechanisms

ZHANG Manhui1，HU Fengyuan2，HU Shenghai1，ZHANG Baoping1，XIE Tingting1

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China; 2. Shanghai institute of ship equipments, Shanghai 200031, China)

The variable topology characteristics of spatial metamorphic mechanisms make the establishment of a configuration-complete model a thorny problem for studying the kinematics and kinematic error of spatial metamorphic mechanisms. Current models with Euler parameters appear to bring in mathematical singularity with degeneration in non-singular situations. Therefore, configuration-complete models with Rodriguez-Hamilton parameters were proposed. The kinematic model of sample configurations was constructed using quaternion theory, and recurrence relations were derived for the generalized state variables of adjacent structures. The perturbations caused by structure errors, joint variable errors, and joint clearances, using the kinematic model in an ideal state were researched, then configuration-complete models were established with unified paradigms. Theoretical calculations and physical simulations were carried out for a typical example, comparing the results shows that the established configuration-complete models are effective. The models can be used not only to analyze the configuration-complete kinematic characteristics, but also to study the change of kinematic characteristics during configuration transformation of spatial metamorphic mechanisms. This provides a theoretical basis for engineering applications of metamorphic mechanisms.

spatial metamorphic mechanisms; quaternion; configuration-complete; kinematics; kinematic error; clearance

2014-06-23.

时间：2015-07-15.

国家自然科学基金资助项目(51175099).

张满慧(1991-), 男, 博士研究生； 胡胜海(1954-), 男, 教授, 博士生导师.

张满慧, E-mail: zhangmanhui@hrbeu.edu.cn.

10.3969/jheu.201406068

TH112

A

1006-7043(2015)09-1252-07

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20150715.1726.002.html