悬臂叠层板状结构稳定性研究

叶献辉，范晨光，蔡逢春，张毅雄

（1.中国核动力研究设计院核反应堆设计技术重点实验室，成都 610041；2.西南交通大学力学与工程学院，成都 610031）

悬臂叠层板状结构稳定性研究

叶献辉1，范晨光2，蔡逢春1，张毅雄1

（1.中国核动力研究设计院核反应堆设计技术重点实验室，成都 610041；2.西南交通大学力学与工程学院，成都 610031）

将管道理论引入叠层板状结构的流致振动研究，在势流理论下，基于输流管道的哈密顿原理，建立悬臂支承叠层板状结构的流致振动模型，用微分求积法对模型的运动方程进行离散，运用特征值分析与响应分析结合的方法，确定系统失稳的临界流速与形式，并研究不同参数对稳定性的影响。结果表明，悬臂叠层板发生颤振失稳，间隙，管／液质量比，间隙和流速非对称参数对颤振流速有一定的影响，但在该研究参数范围内对系统失稳形式没有影响。

稳定性；微分求积法；叠层板；不可压缩流；临界流速

叠层板状结构在反应堆结构工程中有重要的应用。当平行叠层板结构被安装在刚性矩形管内时，冷却流由于受到管道约束而呈现出管流特征。为研究方便起见，可以将这种结构近似视为管道结构。与管道不同的是，薄板所处的流体环境导致了单块板上、下两面存在着压强差和流速差。在这种情况下，流体对单个板乃至整个叠层结构的振动都具有很强的耦合效应［1］。因此，对这种结构进行稳定性分析具有一定难度。

对该问题前人已有不少工作。早先人们发现冷却剂流经管道时，由于两侧通道的压强差和流速差，会使板产生屈曲破坏。国外较早的研究者大都采用单块板模型，对流体的处理也较为初步。近年来，国内的研究取得了很大进展。郭长青等［2－3］采用板状梁的力学模型，对叠层板结构的干模态的固有频率和振型进行了研究；采用势流理论导出的流体力研究了叠层板在流场中的固有频率特性，并计算了其临界流速。杨翊仁等［4－6］研究一个置于水槽中的多跨宽梁，考虑流体的黏性和耦合效应，求出了该模型中水的附加质量和阻尼，并将其推广到叠层板状梁结构中，获得了静水中的固有频率和振型，与实验做了比较；同时还利用假设模态法研究了Poiseuille流中刚性矩形管内的板状梁的动力特性和稳定性［7］。陈贵清等［8］首先研究了有不可压缩无黏流体的弹性矩形管内的简支板状梁的稳定性，而后研究了线性和非线性支承对发散临界流速的影响［9－10］。由于叠层板状结构类似于矩形输流管道，本文针对这一特点，借鉴输流管道对流体的处理方法，研究叠层板状结构流固耦合系统的动力特性和临界流速问题。

1 动力学方程

考虑如图1所示的叠层板状结构的管道模型。与梁式模型相同的是，将每个燃料板视为只有横向振动的梁，不同的是，梁与梁之间与侧壁共同构成了类似于管道的流体环境。为方便推导，进行下列假设：

（1）流体是无旋、无黏性，并且不可压缩；

（2）模型X向两侧由薄板密封，但不约束叠层板Y向位移，不计上下流道流体交换；

（3）上、中、下三层板做梁式横向弯曲变形，在长度方向不可伸长；

（4）结构做微幅振动；

（5）忽略重力和材料阻尼的影响。

图1 叠层板状结构的管道模型Fig.1 Plate-type pipemodel

一端固支，另一端自由的三块长度为L的弹性板相互平行，间隙中充满水。下、中、上三块板厚度分别为t1、t2、t3，单位长度质量为m1、m2、m3；下、上流道水的流速分别为U1和U2，单位长度质量为mf1、mf2；其它参数见图1。

下、中、上三块板的Y向位移分别用u1（z，t）、u2（z，t）和u3（z，t）表示，下、上间隙中面水的Y向位移用uf1（z，t）和uf2（z，t）表示。根据1、2假设，有uf1＝（u1+u2）／2，uf2＝（u2+u3）／2，mf1＝ρ1B（h1+u2－u1），mf1＝ρ1B（h2+u3－u2），其中ρ1为流体的密度。设ez和ey分别为Z向和Y向的单位向量，则流动速度Uf1和Uf2为

式中“′”和“·”分别表示对z和时间的微分，Cf1，Cf2为板弯曲引起流体在z负向上的位移，其大小为

系统的拉格朗日函数是：

式中，Ts，Vs为板的动能和势能；Tf，Vf为流体的动能和势能，它们为

由于流体不可压缩

自由端的位置向量R和与出口过流断面垂直的单位向量τ分别为

将式（1）～（5）代入式（6），外力虚功W为零，经过变分整理可得系统的运动微分方程

式中：

虽然在运动方程的推导中已经做了取舍，但式（7）仍非常复杂，为简化问题，取

同时舍去高阶项，然后将方程无量化并按文献［1］对方程采用微分求积法离散，可得：

将式（10）与式（11）合并，得到一般形式

对式（14）求解，得到复数形式的Ω，其中Im（Ω）为系统的无量纲自振频率。随着流速的增大，可以得到对应于流速的一系列Ω值，当Re＞0，且Im（Ω）≠0时，系统发生颤振失稳；当Re（Ω）＞0且Im（Ω）＝0时，系统发生屈曲失稳。

2 叠层板状结构的临界流速和失稳特性

取结构几何参数L＝0.4 m、B＝0.05 m、t＝0.002 m；材料密度ρ2＝8 400 kg／m3；弹性模量E＝98 GPa；间隙h1＝h2＝h＝0.01 m；流体密度ρ1＝1 000 kg／m3，代入式（14），采用Matlab计算系统Ω。

图2给出了悬臂支承叠层板状结构前7阶模态的复频率特性。当u很小时，频率方程的根都是在复平面的下半部分或在虚数轴上。随着流速的增加，1阶特征值的实部最先是呈负向增长的趋势，虚部则呈现出减小趋势，当流速增大至某一值时，在图2中为u＝6.8，系统1阶特征值的虚部为0，而实部则出现了两个分支。在实部轴上的，轨迹曾一度接近原点，但随后又离开原点，没有穿过虚轴进入不稳定区。通过对该流速段系统在流体激励下的响应分析得知，系统经历有阻尼的振动并未出现发散现象。图3（a）给出了u＝7.0时上板中点响应的相图。在这种情况下，1阶模态没有产生屈曲型不稳定。对于第4阶频率，随着流速的增大，先是经历了有阻尼的振动过程。当无量纲流速等于9.6时，第4阶模态穿过虚轴进入复平面的上半部分，系统发生了颤振，此时有比较规则的振型，系统存在周期解，如图3（b）为此时上板中点响应的相图。当无量纲流速大于9.6时，系统产生了颤振型不稳定，图3（c）给出了u＝10.2时上板中点响应的相图。因此，u ＝9.6就是系统产生颤振失稳的临界流速。

图2 悬臂支承模型前7阶的Argand图Fig.2 The first7 frequencies Argand graph of the cantilevered model

图3 模型响应的相图Fig.3 The phase graph of the cantilevered model

3 不同参数对结构稳定性的影响

3.1 几何参数的影响

板的间隙对结构的临界流速有着重要的影响。图4给出了间隙h在0.002～0.02 m之间变化时实际临界流速的变化趋势。从图可以看出，在有量纲的情况下，随着间隙的增大，最低临界流速大体都呈下降趋势。在h＝0.005m之前及h＝0.01m之后的趋势较为明显，在时，最低临界流速呈现出先减小又增大的趋势。在研究中发现，间隙的非对称显著影响着结构的固有频率和响应。式（9b）取间隙非对称参数γ＝h2／h1可推导式（10）类似方程，保持h1＝0.01 m，在0.5～2之间变化γ，其它参数不变，图5给出了γ与临界流速Ucr的关系图。由图5可知，间隙非对称参数γ对临界流速的影响基本上与板的间隙对临界流速的影响趋势大致相同。在本文研究的参数变化范围内，γ在0.9附近时，有最大的临界流速，但没有发现间隙非对称参数对结构的失稳类型有影响。

图4 h与临界流速Ucr关系图Fig.4 h vs Ucr

图5 γ与临界流速Ucr关系Fig.5γvs Ucr

图6 β与临界流速Ucr关系Fig.6βvs Ucr

3.2 质量参数的影响

图6给出了质量无量纲量参数β与无量纲临界流速Ucr的关系曲线。从图6得知，最低无量纲临界流速随无量纲量β的增大呈上升趋势。这是因为，在回转守恒系统中，结构由于发散而失去稳定，即在临界流速下，无量纲频率为零。发散是一种静力现象，因此时间相关项不影响临界流速。文献［11］中研究了在不同的β值时，一根两端简支管道的频率比与无量纲流速的关系，表明：“对应于不同β值的频率，在同样的无量纲流速下变为零”，“只要系统是回转守恒系统，则确定发散的临界流速的方法与确定一个梁承受轴向压缩力而失稳的方法一样”。

3.3 上下流道流速不等的影响

当结构上下两个流道存在流速差时，由于同时存在两个流速，此时临界流速的概念需要做如下补充。定义λ＝U2／U1，当参数取定后，结构发生失稳所对应的两个流速中较小者称作对应于λ的临界流速。式（9b）取流速非对称参数λ可推导式（10）类似方程，在0.5～2之间变化无量纲参数λ，其他参数不变，图7给出了lnλ与对应于λ的无量纲临界流速Ucr的关系图。由图7可知，对应于λ的无量纲临界流速都在lnλ＝0（即λ＝1）时达到最大，流速差越大，对应于λ的无量纲临界流速越小。在本文研究的参数变化范围内，没有发现无量纲流速非对称参数对结构的失稳类型有影响。

图7 Inλ与临界流速Ucr关系Fig.7 Inλvs Ucr

4 结 论

本文运用管道理论对悬臂叠层板状结构力学模型进行了较为系统的动力学研究。将微分求积法引入叠层板状结构运动方程的数值求解。运用特征值分析与响应分析结合的方法，研究了系统失稳的临界流速与失稳形式，并探讨了不同参数对系统失稳值的影响。算例分析研究表明：悬臂叠层板以颤振的形式发生失稳。颤振临界随着管／液质量比的增加而增加；随着上下流道流速差的增加而减小；随间隙的增加，临界流速先减小后增大，大于0.01后颤振速度减小；随间隙非对称参数不是单调变化，在0.9附近时有最大的临界流速。间隙，管／液质量比，间隙和流速非对称参数对颤振流速有一定的影响，在本文研究参数范围内对系统失稳形式没有影响。

［1］范晨光，杨翊仁.叠层板状结构流致振动特性研究［J］.工程力学，2007，24（1）：31－36.

FAN Chen-guang，YANG Yi-ren.Study on flow-induced vibration of a laminated-plate-type structure［J］.Engineering Mechanics，2007，24（1）：31－36.

［2］郭长青，张兆湘，邹长川.叠层板型元件模型干模态固有频率与振型分析［J］.中南工学院学报，1995，9（1）：18－23.

GUO Chang-qing，ZHANG Zhao-xiang，ZOU Chang-chuan.Analysis on dry-modal natural frequencies and modes of an experimentalmodel for parallel-plate assembly［J］.Journal of Central-South Institute of Technology，1995，9（1）：18－23.

［3］Guo C Q，Peng R H，Sun D L.A Dynamic model for flowinduced vibration of parallel plate fuel assemblies［C］／／Transaction of the 12th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology，Stuttgart，1993.

［4］Yang Y R，Zhang JY.Frequency analysis of a parallel flat plate-type structure in still water，Part I：amulti-span beam ［J］.Journal of Sound and Vibration，1997，203（5）：795－804.

［5］Yang Y R，Zhang JY.Frequency analysis of a parallel flat plate-type structure in stillwater，Part II：a complex structure ［J］.Journal of Sound and Vibration，1997，203（5）：805－814.

［6］杨翊仁，张继业，马建中.不可压缩粘性流中板状梁的附加质量及阻尼［J］.核动力工程，1998，19（5）：443－449.

YANG Yi-ren，ZHANG Ji-ye，MA Jian-zhong.Added mass and damping of plate-type beam vibrating in incompressible viscous fluid［J］.Nuclear Power Engineering，1998，19（5）：443－449.

［7］鲁丽，杨翊仁.矩形管内不可压缩粘性流中简支梁的稳定性［J］.西南交通大学学报，2001，36（6）：561－564.

LU li，YANG Yi-ren.Stability of pinned-pined beam in a rectangular tube filled with incompressible viscous fluids［J］.Journal of Southwest Jiaotong University，2001，36（6）：561 －564.

［8］陈贵清，杨翊仁.板状梁结构流致振动及其稳定性分析［J］.河北理工学院学报，2002，4：105－113.

CHEN Gui-qing，YANG Yi-ren.Study on flow-induced vibration and stability for a plate-type beam structure［J］.Journal of Hebei Technology college，2002，4：105－113.

［9］陈贵清，杨翊仁.受非线性支承的板状梁结构流致振动研究［J］.固体力学学报，2003，24（3）：277－283.

CHEN Gui-qing，YANG Yi-ren.Study on flow-induced vibration for a plate-type beam structure with nonlinear support［J］.Acta Mechanica Solida Sinica，2003，24（3）：277－283.

［10］Chen GQ，Yang Y R.Flow-induced vibration of a plate-type beam with elastic support［C］／／ICVE'2002，Nanjing，China，2002：108－111.

［11］Chen SS.圆柱型结构的流体诱发振动［M］.北京：石油工业出版社，1993.

Stability of a cantilever lam inated-p late structure

YE Xian-hui1，FAN Chen-guang2，CAIFeng-chun1，ZHANGYi-xiong1

（1.Key Laboratory of Reactor System Design Technology，China Nuclear Power Research and Design Institute，Chengdu 610041，China；
2.School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

The pipe theory was introduced into the flow-induced vibration study of a laminated plate-type structure.Themechanicalmodelwas set to describe the plate-type structure in potential flow.The dynamic equation was deduced based on Hamilton principle.The differential quadrature method was used to solve the differential equations.And the effects of various parameters on the instability of the system were investigated.The results showed that the cantilevered model has the flutter over the critical flow velocity；parameters of gap，mass ratio，gap asymmetrical parameter and velocity asymmetrical parameter have influences on the flutter velocity，but they have no effect on the system's instability forms in the ranges of parameters considered here.

stability；differential quadraturemethod；plate-type structure；uncompressible flow；critical flow velocity

O323

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.031

国家自然科学基金青年基金（11102170）资助项目

2014－03－31 修改稿收到日期：2015－03－25

叶献辉男，博士，高级工程师，1980年生