HPM研究与实践：是理念，更是行动

【摘要】一线数学教师已经十分认同将数学史融入数学课堂的价值。在小学数学课堂上可以运用链接式、再现式、融入式等方法进行HPM研究与实践，这三种方法虽然在层次上有区别，但相互之间并不对立互斥，它们既可以独立运用，也可以在一节课中综合运用。

【关键词】HPM;链接式;再现式;融入式

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1005-6009（2015）17-0011-03

【作者简介】薛志梅，江苏省苏州工业园区方洲小学（江苏苏州，215028），二级教师，苏州工业园区教科研能手、教育技术应用能手。

早在19世纪，数学史对于数学教育的价值就已经被一些西方数学家所认识。1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教育之间的关系国际研究小组。研究表明，数学史用在数学教育中能激发学生的学习兴趣，培养学生的数学精神，预见学生的认知发展，促进学生理解数学和认识数学的价值，构筑数学与人文之间的桥梁，指导并丰富教师的课堂教学，等等。作为一线教师，笔者在教学实践中经历了从迷茫到清晰、从无意识到自觉地运用数学史的过程，因而笔者对老师们进行HPM研究与实践时遇到的典型性困惑感触颇深。

一、“作为一线教师，在数学课堂上该怎么用数学史？”

1.链接式运用数学史。

目前，在教学时，很多数学教师会插入一些与教学内容相关的数学家图片或讲述与之相关的逸闻趣事或介绍有关的数学史料，以此来提升数学课的文化味道。像这样运用数学史的方法我们称之为链接式，其内在意义在于数学史没有影响教师的教学设计，只不过是在原有的教学设计中插入了一个“超链接”。

比如：教学“用字母表示数”，可以给学生讲讲“从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数”的抽象历程，然后让学生猜一猜“从丢番图的方法到韦达的方法，数学家们用了多少年”，当学生知道这一过程用了一千两百多年时，他们的脸上都写满了惊叹。这样做有助于减少学生的学习焦虑，激发学生的学习激情。

链接式虽然是数学史使用的较低层次，但我们不能忽视它的价值。数学家陈景润高中时很快解决了沈元老师提出的“韩信点兵”问题，并在黑板上写出了精彩的解法，沈老师高兴之际鼓励道：“你能独立解答‘韩信点兵，不要停止思考，你能创造更大的奇迹，比如解决‘哥德巴赫猜想。”于是，沈老师讲起了“哥德巴赫猜想”的故事，这个故事给陈景润留下了深刻的印象，像磁石一般吸引着他。在求知欲旺盛的小学生面前多讲讲数学家的故事，在他们的心里播下渴望的种子，有利于激起他们对数学的学习热情。

2.再现式运用数学史。

在链接式的基础上，还可以在设计教学时就开始收集相关内容在历史上留下的经典名题或数学故事或相关的数学结论或多样的数学方法，在课堂上再现类似的情境，让学生像历史上的数学家们那样去独立思考、探索知识，这种方式称为再现式。

比如，我国古代算术《孙子算经》中有这样一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个题目及其解法在世界数学史上十分有名，中外数学家称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。可以在教学“数的整除”的相关知识之后将其再现在课堂中，组织学生去思考。

又如：学习了“三角形的面积”的计算方法后，可以出示《九章算术》中记载的“半广以乘正从”的方法，请学生明晰这是怎样的方法，为什么也能用来计算三角形的面积，以及和我们自己推导出来的方法有什么相同之处，这有利于加深学生对三角形的面积计算方法及其推导过程的理解。

如果说链接式可以更多地触及学生的情感，显然，再现式可以更多地触及学生的数学思考。要注意的是，“再现”不是“复制”，没有必要完整地呈现历史上知识的形成过程，而应截取知识形成或方法运用最经典的关键节点，这有利于更好地激发学生的学习动机，促进学生进行深入的思考。

3.融入式运用数学史。

运用数学史的最高层次当属融入式，即在课堂上重构人类认识的发生、发展过程，教学推进过程中看似没有使用有形的数学史，却有机地融入了历史上人类认识产生飞跃的关键进程。很多教师说：“数学史看上去很美，但做起来很难。”恐怕指的就是数学史的融入式运用。下文将对此作更为具体的说明。

二、“把数学史融入数学教学，看上去很美，做起来很难，到底如何融入？”

对数学教师来说，在数学课堂上运用数学史是一个再创造的过程。融入式运用数学史，无疑需要教师进行更深入的思考，它是教师基于数学史、教学内容和教学对象展开一系列思考和实践的过程。这个过程，我们总结为如图1所示的架构，下面结合苏教版五上《用字母表示数》一课来具体说明如下：

1.融入式运用数学史的理论基础是历史相似性原理。

个体的认知过程与人类认知提升的历史过程基本是一致的，历史上数学家曾经遇到过的困难，课堂学习中学生同样会遇到，应注意处理好学生个体和群体间的关系。比如：代数知识的发展大致经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个阶段，那么在理论上，每个学生个体的认知提升大致也会经历这三个时期，也会面对历史上人类认知提升曾经遭遇的障碍。但在某个课堂教学的特定时空里，在学生个体身上体现不出这种历史性的过程，但不同认知水平的学生会停留在不同的认知阶段，因此，可以在学生群体中看到这些不同的认知形态呈现出的历史性过程。

2.整个架构最终指向“融入式的数学课堂教学”。

HPM研究与实践，不是为了让学生学习数学史，而是为了学生更好地学习数学。明确了HPM研究的核心基点，也就明白了对于数学史料应该采取大胆拿来为数学教育所用的态度，符合“两个有利于”（有利于更好地激发学生的学习动机，有利于学生更好地进行数学思考）的就用，不符合的就进行教学法的加工。所以，融入式运用数学史需要教师“备方法”。也正因为运用数学史是为了数学教学，所以，对于史料中无从考证的知识形成过程，也可以进行合情推理，设计切合学生经验水平的知识形成过程。

3.只要是进行教学设计，就需要“备学生”“备内容”“备方法”，但要结合数学史去思考这些问题。

需要补充的是，为了方便说明，上述架构中的“三备”是线性的，而事实上它们很难分清先后次序，往往需要交融往返地进行思考。

4.用相互补充和佐证的方法读通数学史。

利用数学史“备内容”“备学生”，首先要读多个版本的数学史书籍，因为对于同一个数学史事件，不同的作者会有不同的叙述视角，会引用不同的历史细节，多个版本的数学史书籍相互补充和佐证，我们拥有的资料才丰满。在读数学史的过程中，要深入追问：一要理清这个知识的来龙去脉，从而提炼出所学知识的数学本质，以及人类认知提升经过的阶段;二要捕捉人类认知经历了哪些挫折或走过哪些弯路，从而提炼出人类认知提升遭遇的障碍，简称“两读三提炼”。

从这些角度去读代数史就可以发现，人类最初所谓的“代数”就是解方程。而最早的解方程是用自然语言记录的，看一个方程的解法如同看一篇小论文;之后古希腊数学家丢番图想到了用字母去表示未知数，他用具体数量发音音节的第一个字母来表示该未知数，未知数的意义不同，表示未知数的字母就不同，而且相互间不通用，所以解方程的方法各不相同;到16世纪，法国数学家韦达思考用辅音字母来表示未知数，用元音字母来表示已知数，这样方程就成了统一的模样，从而发现了二元一次方程的根的规律。这之后，其他数学家再把韦达的方法加以完善，就有了现在的初等代数。

这段历史，总结起来就是“文辞代数、缩写代数、符号代数”三个阶段，而且从丢番图用字母表示未知数到韦达用字母还能表示已知数经历了一千两百多年，这之后代数获得了更好的发展。所以，学“用字母表示数”到底要学什么，把教科书上的知识放到历史的背景中去考察，就一清二楚了。

5.再结合学生的现实寻找恰当的素材，设计合理的教学进程承载历史的精华。

教科书是借助摆三角形用多少根小棒的题材来引导学生思考用字母表示数的，既简约又很丰富，可以照用。但用的过程中，基于数学史就要特别注意：要让学生产生用字母去概括的需要，就不应该直接提“如果摆a个三角形用多少根小棒”这样的问题;其次，在学生思考如何概括摆三角形用的小棒的根数时，要注意辨析学生的想法处于哪个认知阶段;再次，设计好问题引导学生体会现在用字母表示的是一定范围内的已知数。至此，融入式运用数学史进行“用字母表示数”的教学设计便水到渠成了。

融入式运用数学史，数学史成为了推进教学的内在依托和厚实背景，需要教者站在历史的高度，理清数学知识的来龙去脉和数学思想的演进走向，把握所教内容的本质，然后设计情境，引导学生经历知识产生、发展的过程，在人类认知提升的关键节点上给予学生充分的时间和空间，让他们运用已有的知识、经验、方法去思考、探索、交流，从而生成深度的数学理解，提升数学素养。

数学史运用的三种方式虽然在层次上有区别，但相互之间并不对立互斥，它们既可以独立运用，也可以在一节课中综合运用。特别需要注意的是，数学史的三种运用方式各具价值，链接式和再现式运用数学史的难度并不大，但对学生的数学学习同样颇具意义。