浅谈函数解析式的求解策略

王金

[摘要]函数解析式的求解方法是一种比较抽象的解题方法，提供几种求解函数解析式的常用方法，供大家参考.

[关键词]函数解析式求解策略

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140038

函数解析式是研究函数性质的基础，其解析式的求法也综合了代数、三角函数、几何的相关知识以及相应的数学思想方法.本文仅对函数解析式的求法加以概括和归纳.

一、换元法

【例1】对所有实数x，满足条件：f（2x-3）=4x2 -2x+3，求f（x）的解析式.

解： 令 t=2x-3，则 x=t+32.

所以f（t）=4（t+32）2-2（t+32）+3=t2+5t+9，

即 f（t）=t2 +5t+9，

所以 f（x）=x2 +5x+9.

小结：能从换元后的函数方程中解出x的函数解析式问题常用此法.

二、配凑法

【例2】若f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解：∵f（x+1x）=x3+1x3=

（x+1x）（x2+1x2-1）=

（x+1x）[（x+1x）2-3]

，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x.

小结：不能从换元后的函数方程中解出x的函数解析式问题常用此法.

三、待定系数法

【例3】已知f （x）是二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x+4，则f （x）=.

小值点，

∴f（43）=

8×43+16

1+43-1+169

=40

，当x=ba=43时，结合已知求得a=10，b=403.

方法三：联想几何意义，构造三角函数求最值

将1a+2b=14

转化为4a+8b=1，联想到直线截距式方程xa+yb=1.

问题转化为：过定点P（4，8）的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，求△ABO周长的最小值.

解：设直线l的倾斜角的补角为θ，0<θ<π2，过P作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为C，如右图.

如图可知，PB=4cosθ，BD=4tanθ，

PA=8sinθ，AC=8tanθ.

则△ABO周长

l=a+b+a2+b2

=12+4cosθ+

4tanθ+8sinθ+8tanθ

=12+4cosθ+

4sinθcosθ+

8sinθ+

8cosθsinθ

=12+8（1+cosθ）sinθ+

4（1+sinθ）cosθ=

=12+8×2cos2θ22sinθ2cosθ2+

4（sinθ2+cosθ2）2

cos2θ2-sin2θ2

=

12+8·cosθ2sinθ2+

4（sinθ2+cosθ2）cosθ2-sinθ2

=12+8tanθ2+

4（tanθ2+1）1-tanθ2

.

令tanθ2=x（0

则l（x）=12+8x+4（x+1）1-x.

∴l′（x）=-8x2+8（x-1）2.

令l′（x）=0，则-8x2+8（x-1）2=0

，解得x=12.

易求l（12）=40，所以△ABO周长的最小值为40.

即a+b+a2+b2的最小值为40.

方法四：联想几何意义，利用几何性质求最值

（利用方法三中的假设）如图2⊙M是的旁切圆，由圆的切线长性质知，BE=BD，AE=AC，所以的周长为OC+OD=2OC（四边形OCMD为正方形），OC为旁切圆的半径，因此，要使的周长最小，就要使的旁切圆的直径最小.又当仅当点（4，8）是直线AB与⊙M相切的切点时，旁切圆的半径最小.设⊙M的圆心为（m，m）， 则半径为m， ⊙M的方程为（x-m）2+（y-m）2=m2，将（4，8）代入方程得：（4 -m）2+（8 -m）2=m2 ，解方程得m=20. 所以周长的最小值为40. 即的最小值为40.

综上所述，最值问题作为高中数学中的难点和热点问题之一，我们只要把握了思维方向，就能从不同角度分析问题，寻求到解决问题的方法.

[参考文献]

[1] 张国定.含参不等式恒成立问题的解法研究综述[J]. 数学教学研究，2013（6）.

[2] 王耀.多方位审视多策略解题[J].数学教学研究，2013（8）.

[3] 龚海滨.二次函数逆向最值问题的优化策略[J].高中数学教与学，2014（9）.

[4] 张婷婷.一道最值问题的多视角求解[J]，高中数学教与学，2014（10）.