带电粒子在有界匀强磁场中运动问题分类分析

林秋桂

[摘要]带电粒子在有界匀强磁场中运动问题，是历年高考的热点，也是难点。学生在遇到此类问题时普遍感觉难以入手、步骤繁琐，甚至无计可施。而要解决此类问题，应熟练掌握此类问题的基本类型，并在这些类型的基础上进行变换、加深。在此，笔者对此类问题进行了分析归纳，希望对学生解决这类问题能有所启示。

[关键词]带电粒子 有界匀强磁场 边界类型 速度 几何关系 临界问题

[中图分类号]G633.7[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140050

在解决带电粒子在有界匀强磁场中运动问题时，常常会遇到不同的边界类型，如：单直线边界类、平行双直线边界类、圆形边界类。粒子在不同边界的磁场中运动时，粒子运动的轨迹、几何关系会有所不同。如果带电粒子进入磁场时的速度方向不相同，也会使粒子运动轨迹、解题策略有所不同。此外，若单独改变磁场方向、粒子电性，都会使粒子偏转的方向不同，运动的轨迹也随之改变。因此，有必要对粒子在各种边界类型的磁场中的运动及其规律进行分类分析。

一、单直线边界型

图1

1.粒子垂直于磁场边界进入磁场

如图1所示，粒子垂直于磁场的边界进入磁场时，粒子在磁场中运动的轨迹是半圆，轨迹长度为πR，在磁场中运动时间为T/2，

圆心角为π。

图2

2.粒子速度方向与磁场边界不垂直，轨迹圆心位于磁场的内侧

如图2所示，粒子进入磁场时，速度方向与边界的夹角为 θ，则飞出磁场时，速度方向与边界的夹角仍为θ，两速度关于磁场边界对称，运动轨迹为一段优弧，运动时间大于T/2，圆弧所对的圆心角为2π-2θ。

3.粒子速度方向与磁场边界不垂直，轨迹圆心位于磁场的外侧

图3

如图3所示，粒子进入磁场时，速度方向与边界的夹角为θ ，则飞出磁场时，速度方向与边界的夹角仍为θ，粒子进出磁场时的速度关于磁场边界对称;运动的轨迹为一段劣弧，运动时间小于T/2，圆弧所对的圆心角为2θ。

图4

【例1】如图4所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电荷量均相同的正、负离子（不计重力），从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角。则正、负离子在磁场中的运动情况是（ ）。

A.运动时间相同

B.运动轨迹的半径相同

C.重新回到边界时速度的大小和方向相同

D.重新回到边界的位置与O点的距离相等

解析：两个质量和电荷量均相同的正、负离子（不计重力），由qvB=mv2R，可得R=mvqB，知其半径相同，故选项B正确。由于正负离子受力方向相反，其运动轨迹不重合，根据周期公式T=2πmqB

，可知正、负离子做圆周运动的周期相同，但在磁场中运动的圆弧长度不同，故在磁场中运动的时间不相同，选项A错误。

图5

由图5所示带电离子的运动轨迹可知，重新回到边界时速度的方向相同;由洛伦兹力不做功可以判断离子的速度大小始终是相同的，选项C正确。由几何知识可以证明重新回到边界的位置与O点的距离相等，选项D正确。

总结：在解决直线边界问题时，先要明确带电粒子的电性、磁场的方向和进入磁场时的速度方向，再判断向哪一侧偏转，画出运动轨迹和半径，并寻找其中包含的对称关系。

二、平行双直线边界型

粒子在磁场中的运动轨迹，受粒子的运动速度、磁场强度、磁场的宽度、粒子进入磁场的角度影响，解答这类问题时，需要分析相关的临界问题和几何关系。

1.粒子平行于磁场的边界进入磁场

图6

如图6所示，粒子初速度平行于磁场边界。

（1）几何关系

由cosθ=R-LR得R=L1-cosθ

（2）临界问题

若R>L/2，则粒子从上边界飞出磁场;

若R

若R=L/2，则粒子运动轨迹与下边界相切。

2.粒子垂直于磁场的边界进入磁场

图7

如图7所示，粒子初速度垂直于磁场边界。

（1）几何关系：由sinθ=LR得R=Lsinθ

（2）临界问题

若R

若R>L，则粒子从右边界飞出磁场;

若R=L，则粒子的运动轨迹与右边界相切。

3.粒子速度方向与磁场边界既不平行也不垂直

图8

如图8所示，粒子初速度与磁场边界成θ角，此时轨迹与右边界相切，轨迹圆半径为R。

（1）几何关系：已知磁场的宽度为L，

则由R0cosθ+R0=L

得R0=L1+cosθ

（2）临界问题

若R< R0，则粒子从左边界飞出磁场;

若R> R0，则粒子从右边界飞出磁场;

若R= R0，则粒子的运动轨迹与右边界相切。

图9

【例2】质量为m、电荷量为q的带负电粒子自静止开始释放，经M、N板间的电场加速后，从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，该粒子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图9所示。已知M、N两板间的电压为U，粒子的重力不计。求匀强磁场的磁感应强度B。

解析：画出粒子经电场加速后，进入磁场后的轨迹图，如图9。设粒子在M、N两板间经电场加速后获得的速度为v，由动能定理得： qU=12mv2①

粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为r，则：qvB=mv2r②

由几何关系得：r2=（r-L）2+d2③

联立①②③式可解得：

磁感应强度B=2L（L2+d2）2mUq 。

图10

【例3】匀强磁场的磁感应强度为B

，宽度为d，边界为CD和EF，如图10所示。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直射入匀强磁场，入射方向与CD边界间夹角为θ。已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，则：

（1）电子的速率v0至少多大？（2）若θ角可取任意值，v0的最小值是多少？

图11

解析：（1）当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出。由于速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图11所示。电子恰好射出时，由几何知识可得：r+rcosθ=d ①

又r=mv0Be ②

由①②得v0=Bedm（1+cosθ）③

故电子要射出磁场，速率至少应大于Bedm（1+cosθ）

（2）由③式可知，当θ=0°时，v0=Bed2m最小。

总结：在解决平行边界问题时，先要明确带电粒子所带电荷的电性、磁场的方向和进入磁场时的速度方向，再判断向哪一侧偏转，画出运动轨迹，并找出磁场宽度与轨迹圆半径的几何关系，还要注意分析粒子飞出磁场的临界问题。

三、圆形边界型

圆形边界类问题，可大致分类：粒子朝磁场圆圆心射入磁场和不朝磁圆圆心射入磁场两类，本文仅就第一种情况进行分析讨论。具体解答这类问题时，可以磁场圆圆心为坐标原点，粒子进入磁场的点与磁场圆心的连线为x轴，建立坐标系。

（1）若粒子沿半径方向射入，必沿半径方向射出。

（2）几何关系：由rR=tanθ得R=rtanθ。

图12

图13

【例4】在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图12所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。求：

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m;

（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求：（1）磁感应强度B′与B的比值。（2）此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？

解析：（1）带电粒子从C处沿+y方向飞出，过A、C分别作x、y轴的垂线相交于O1，O1就是粒子做圆周运动的圆心，如图13所示，由左手定则可知粒子带负电荷，粒子做圆周运动的半径为R=r。

由qvB=mv2R=mv2r

得比荷： qm=vBr。

图14

（2）若带电粒子出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，画出如图14所示的示意图，分析可知粒子做圆周运动的半径为R′。

R′=rcot30°=3r

由qvB′=mv2R′

得B′=33B，B′B=33，

在磁场中运动的时间t=T6=2πm6qB′=33πrv。

总结：在解决圆形边界问题时，先要明确带电粒子所带电荷的电性、磁场的方向和进入磁场时的速度方向，再判断向哪一侧偏转，画出运动轨迹，确定轨迹圆圆心和粒子轨迹圆半径及其与磁场圆半径的几何关系。

总之，带电粒子在有界磁场中运动问题是高考的重点、难点，但只要熟悉此类问题的基本类型，并熟练掌握其中的规律，应对此类问题就能游刃有余。

（责任编辑易志毅）