高中数学解题策略初探

李树明

摘 要：试图从常规常法、从特殊到一般、从模型化的思想方法中阐述：如何培养学生在解决数学问题中构建“解题策略”这一过程性思维能力的方法。

关键词：解题策略；分析法；综合法；特殊值法

问题是数学的核心。如何培养学生解决数学问题的能力是每个数学老师不可避免的话题。解决数学问题的过程虽然各有千秋，但都离不开：（1）审题；（2）寻求解题策略；（3）书写解答过程。这三步中寻求“解题策略”是能否解出这道题的关键。我们常常听到学生报怨：“定理、公式我都会，可是要用的时候总是用不来。”“老师讲的题目我都听得懂，可是要我自己想，却想不出来。”等等，甚至一碰到没做过的题目便盲目猜测，完全乱了分寸……究其原因，发现教师在平时的教学中忽略对“解题策略”这一过程性思维能力的重视与有意识培养，使学生在对待具体问题时不能冷静、从容、科学有效地思维。多年的课堂教学中，本人不断尝试探索如何有效地培养学生寻求“解题策略”这一过程性的思维能力。有了些许收获，我把我的点滴积累写出来，与各位同仁一起探讨、交流。

一、狠抓常规常法：左右开弓

解一道题从本质上讲就是构建从“已知”到“未知”（结论）过程。正向：从“已知”到“未知”（结论）顺其自然便是综合法思路；逆向：从“未知”到“已知”，正难则反（这里的反指的是从结论到已知。）就是分析法思路，这两种思维一正一反，所以分析法和综合法思路是探求解题策略的最基本方法。

分析：三角变换的技巧是从函数“名称”或“角的大小”两个维度进行思维。本题观察已知角与所求角的特点，构建从“核心条件”到“结论”过程：根据角“β=α-（α-β）”，借助正弦两角和差公式，顺其自然，一气呵成。

例2.已知函数y=f（x）满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a），试证明：f（x）为R上的单调增函数。

分析：本题“核心条件”是：af（a）+bf（b）>af（b）+bf（a），而要到达的结论是：证明函数f（x）为R上的单调增函数。于是我们思考方向：如何证明一个函数的单调性？自然想到单调性的定义或导数法（这里用不上）。因而由函数的单调性定义入手：

已知x1f（x2）。证明：（略）。

分析：要证明上述不等式成立，暂无条件可用，这时“正难则反”可以从所要证明的结论出发，逐步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，即用分析法思路证明。

用综合法思路寻求解题策略是“由因导果，顺其自然”，而分析法思路则是“正难则反，执果索因”。它们是截然相反的两种寻求“解题策略”的方法。一正一反构成我们寻求“解题策略”的最基本方法。

二、用“模型化思想”拨云见日

类比总结过的基本题型是探索“解题策略”的重要方法。

例4.（2012·浙江高考）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（ ）

（A）3 （B）4

（C）5 （D）6

例5.求数列0.8，0.88，0.888，…的一个通项公式。

在学习中有意识地总结一些基本题型，在习题教学中引导学生运用“模型化”思想解决问题，是培养学生寻求“解题策略”的重要手段。

三、小题不大作，特殊值法显身手

例6.如图左，若D、E、F分别是三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分的体积之比为（ ）

A.4：31 B.6：23

C.4：23 D.2：25

例7.设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}。令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三个条件x

A.（y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S B.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S D.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）？埸S

分析：本题较为复杂，又是小题，“小题不大作”。题目中x

四、运用化归转化思想，有时“猜”也是个不错的寻求“解题策略”的方法

试题给出的条件与结论跨度很大或感觉无从下手时，我们试着从特殊情况尝试，大胆的“猜”或许便会“柳暗花明”。

分析：本题有一定的思维量，不易入题。我先代入一些特殊值，猜一猜这个抽象式子有何规律。由已知2f（x+2）-f（x）=0得f（x）=2f（x+2），令x=0，有f（0）=2f（2），再令x=2得f（2）=2f（4），所以f（0）=4f（4）。于是我们便发现函数f（x）每隔两个单位其函数值缩为原来一半的伸缩变换（从左到右）。所以“核心条件”是当x∈（-4，-2）时，f（x）的最大值为-4，等价于f（x）在x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax，时f（x）的最大值为-1（缩为原来的），思路豁然开朗。

解题策略的构建是一个极为复杂的课题，以上只是本人一些粗浅的想法。在课堂教学中教师不仅要讲清楚如何解决一个问题，更重要的是要讲透为什么这样解。引导学生从常规常法、由特殊到一般法、从模型化的思想方法等几个方面寻找“解题策略”这一过程性思维必不可少。当然学生多练、多思、多归纳总结是培养学寻求“解题策略”的不二法門。

参考文献：

张泉.世纪金榜：高中全程复习方略.福建教育出版社，2014-03.

编辑 鲁翠红