非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子存在性

2015-06-15 18:56马腾洋姜金平雷思思
关键词:延安大学金平学报

马腾洋,姜金平,雷思思

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)

非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子存在性

马腾洋,姜金平*,雷思思

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)

研究非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子的存在性。首先得到其存在拉回吸收集,然后借助拉回条件(C),验证该类非自治Cahn-Hilliard方程的拉回D-吸引子的存在性。

非自治;Cahn-Hilliard方程;拉回D-吸引子

考虑如下的非自治Cahn-Hilliard方程:

ut+v△2u=△f(u)+g(x,t),

(x,t)∈Ω×(0,∞),

(1)

u=△u=0,(x,t)∈∂Ω×(0,∞),

(2)

u(x,τ)=uτ(x),t>τ。

(3)

式中:Ω是Rn(n≤3)的有界集,g(x,t)是依赖于时间t的外力项,是关于t的几乎周期函数。当

g(x,t)=0时是自治的Cahn-Hilliard方程。非线性项f(u)满足如下条件:

f′(u)>-k,F(u)>μ,

(4)

存在0<γ≤β≤∞使得

Cahn-Hilliard方程的解的存在性的研究已有大量工作[1-3],文献[1,3]中,Cahn-Hilliard方程的全局吸引子得到广泛的研究。本文在文献[2]的基础上进一步研究其拉回吸引子的存在性。文献[4,5]研究的是非自治反应扩散方程的拉回吸引子的存在性。文献[6,7]从其它的方程等方面考察了拉回吸引子的存在性。本文采用文献[4]中的方法,证明了Cahn-Hilliard方程在空间L2(Ω)中拉回D-吸引子的存在性。

1 预备知识

令X是Banach空间,距离为d(·,·),若一族定义于X上的双参数映射

U(t,τ):X→X,t≥τ,τ∈R满足:

1)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ),∀τ≤r≤t;

2)U(τ,τ)=Id,τ∈R。

则称U(t,τ)是一过程。

P(X)。

P(X)满足:

1)对任意的t∈R,A(t)是紧的;

其中,P为X→X1的投影算子。

定理1[5]设X是一个Banach空间,U(t,τ)为X中的一个闭过程,且满足下列条件:

1)在X中存在一个拉回D-吸收集;

2)U(t,τ)满足拉回条件(C);

那么在X中存在一个拉回D-吸引子

2 主要结论

(6)

令D为L2(Ω)中的形如{D(t):t∈R}的所有非空子集,满足

(7)

u∈C([τ,∞],H)∩ L2([τ,∞],L2(Ω))。

该定理的证明是由Faedo-Galerkin方法得到的。具体证明见文献[1,5]。

证明 对方程(1)两边用u做内积,有

=(△f(u),u)+(g(x,t),u),

(8)

又由Young不等式和Holder不等式知

(9)

结合Poincare不等式,可得

(10)

(11)

对(11)式运用Gronwall引理有

(12)

定理4 假设(2)-(5)成立,且满足(6)式,那么过程U在L2(Ω)中存在拉回D-吸引子。

证明 由定理3知,式(1)上的过程U在L2(Ω)中存在一个拉回D-吸收集。由定理1知只需满足拉回条件(C)即可。

令Vm=span{ω1,ω2,…,ωm}⊆V,Pm:V→Vm是一个正交投影算子。于是对于任意的u∈D(-△),

记u=Pmu+(I-Pm)u=u1+u2。

对方程(1)同-△u2做内积,有

=(△f(u),-△u2)+(g(x,t),-△u2)。

(13)

因为 (△f(u),-△u2)=(▽f(u),▽△u2)≤ʃΩf ′(u)▽u2▽△u2dx≤c1ʃΩ▽u2▽△u2dx≤

(14)

(15)

将(14)、(15)代入(13)式,整理得

(16)

运用Poincare不等式,可得

(17)

对(17)式,由Gronwall引理可知

‖u2(t)‖2≤‖u2(τ)‖2e-λm+1(t-τ)+

(18)

下面对(18)式中右侧的每一项进行估计。

对于第1项,当m+1充分大时,有

(19)

(20)

对于上式,当η足够小且λm+1充分大时,有

(21)

由(19)、(21)式可得

‖u2(t)‖2≤ε。

因此结论成立,证毕。

[1]TemanR.Infinite-dimensionaldynamicalsystemsinmechanicsandphysics[M].NewYork:Springer,1997.

[2]董超雨,姜金平,张晓明.非自治Cahn-Hilliard方程的一致吸引子[J].郑州大学学报(理学版),2014,46(2):21-23,30.

[3]王素云,李德生,张艳红.Cahn-Hilliard方程强解的全局吸引子[J].兰州大学学报(自然科学版),2005,41(5):134-137.

[4]任丽,李晓军.非自治反应扩散方程的拉回D-吸引子[J].江南大学学报,2014,13(2):237-242.

[5]SongHaitao,WuHongqing.Pullbackattractorsofnonautonomousreaction-diffusionequations[J].JournalofMathematicalAnalysisandApplications, 2007,325(2):1200-1215.

[6]Marn-RubioP,RealJ.Ontherelationbetweentwodifferentconceptsofpullbackattractorsfornon-autonomousdynamicalsystems[J].NonlinearAnalysis,2009,71(9):3956- 3963.

[7]Garca-LuengoJ,Marn-RubioP,RealJ.PullbackattractorsinVfornon-autonomous2D-Navier-Stokesequationsandtheirtemperedbehaviour[J].JournalofDifferentialEquations,2012,252(8):4333-4356.

[责任编辑 毕 伟]

Existence of PullbackD-Attractors for Non-autonomous Cahn-Hilliard Equation

MA Teng-yang,JIANG Jin-ping*,LEI Si-si

(College of Mathematics and Computer Science,Yan′an University,Yan′an 716000,China)

The existence of pullbackD-attractor of the non-autonomous Cahn-Hilliard equation was investigated.Firstly,the existence of pullback absorbing set was given,then it was proved the existence of pullbackD-attractors for the class of the non- autonomous Cahn-Hilliard equation by the pullbackD- condition(C) .

non- autonomous; Cahn-Hilliard Equation; pullbackD-attractors

10.13876/J.cnki.ydnse.2015.04.001

2015-09-29

国家自然科学基金项目(11171269);陕西省自然科学基础研究计划项目(2014JM2-1005)

马腾洋(1991—),男,陕西洋县人,延安大学硕士研究生。 *为通讯作者

O175.29

A

1004-602X(2015)04-0001-03

猜你喜欢
延安大学金平学报
Rapid identification of volatile organic compounds and their isomers in the atmosphere
《北京航空航天大学学报》征稿简则
《北京航空航天大学学报》征稿简则
《健听女孩》:无声世界里的有情人生
《延安大学学报(社会科学版)》征稿启事
《北京航空航天大学学报》征稿简则
《北京航空航天大学学报》征稿简则
生态女性主义在霍桑《红字》中的研究
Research on the Application of English Reading Strategies for Junior High School Students
无 题