丢番图方程x3＋64＝3y2的整数解

赵晶晶

（滇西科技师范学院后勤管理处，云南 临沧 677000）

丢番图方程x3＋64＝3y2的整数解

赵晶晶

（滇西科技师范学院后勤管理处，云南 临沧 677000）

丢番图方程x3＋64＝3y2的整数解至今未解决，利用奇偶数的性质、同余的性质等证明了丢番图方程x3＋64＝3y2仅有整数解（x，y）＝（－4，0）．

整数解；丢番图方程；同余

三次丢番图方程：

是一类基本而重要的方程，其整数解已经有一些学者研究过.现有主要结论集中在：1994年，文献［1］给出D只含一个6k＋1型素数因子时丢番图方程x3＋64＝3Dy2在一些条件下无非平凡解的充分条件；同年，文献［2］给出D不能被3或6k＋1型素数整除且D≠k＋2时不定方程x3＋64＝Dy2无非平凡解的充分性条件；2008年，文献［3］给出了D＝21，39，57，93时方程（1）的所有整数解；2012年，文献［4］给出了D＝7，13，19，37，43时方程（1）的所有整数解；2013年，文献［5］给出了D＝201时方程（1）的所有解；2014年，文献［6］给出了D＝273时方程（1）的所有解；文献［7］给出了x3±27＝py2的所有解，文献［8］给出了不定方程x3＋64＝67y2的所有解．D＝3时方程（1）的解至今未解决，本文主要讨论丢番图方程x3＋64＝3y2的解的情况．

注：文中符号gcd（a，b）表示a，b的最大公约数．

1 相关引理

引理1［9］不定方程x3＋1＝3y2仅有整数解（x，y）＝（－1，0）．

2 主要结论及证明

定理1 丢番图方程：

仅有整数解（x，y）＝（－4，0）．

证明 下面对x分奇偶两种情况进行讨论．

2．1 x为偶数

令x＝2x1，下面又分两种情形讨论．

由于x1为奇数，则方程（3）左边为奇数，又方程（3）右边为偶数，故方程（3）无整数解．因此方程（2）在此情形下无整数解．

由引理1知，方程（4）有整数解（x2，y2）＝（－1，0），故方程（2）在此情形下只有整数解（x，y）＝（－4，0）．

2．2 x为奇数

由方程（2）知此时y也为奇数．因为x3＋64＝（x＋4）（x2－4x＋16），所以gcd（x＋4，x2－4x＋16）＝gcd（x＋4，（x＋4）2－12（x＋4）＋48）＝gcd（x＋4，48）＝gcd（x＋4，24×3），又 x为奇数，故x＋4也为奇数，因此gcd（x＋4，24× 3）＝1或3，即gcd（x＋4，x2－4x＋16）＝1或3，从而方程（2）得出下列4种可能的分解：

情形Ⅰ：x＋4＝3a2，x2－4x＋16＝b2，gcd（a，b）＝1，y＝ab；

情形Ⅱ：x＋4＝a2，x2－4x＋16＝3b2，gcd（a，b）＝1，y＝ab；

情形Ⅲ：x＋4＝9a2，x2－4x＋16＝3b2，gcd（a，b）＝3，y＝ab；

情形Ⅳ：x＋4＝3a2，x2－4x＋16＝9b2，gcd（a，b）＝3，y＝ab．

下面分别讨论这4种情形下方程（2）的整数解的情况．

情形Ⅰ：由x2－4x＋16＝b2可得x＝0或4，代入x＋4＝3a2，均不适合此式．因此在该情形下方程（2）无整数解．

情形Ⅱ：因为x为奇数，所以由x＋4＝a2得a为奇数，则有a2≡1（mod 8），由x＋4＝a2得x＝a2－4≡5（mod 8），代入x2－4x＋16＝3b2的左边得x2－4x＋16≡5（mod 8）．又由x2－4x＋16＝b2得b为奇数，则有b2≡1（mod 8），故3b2≡3（mod 8），因此有5≡x2－4x＋16＝3b2≡3（mod 8），矛盾．因此在该情形下方程（2）无整数解．

情形Ⅲ：因为x为奇数，所以由x＋4＝9a2得a为奇数，则有a2≡1（mod 8），由x＋4＝9a2得x＝9a2－4≡5（mod 8），代入x2－4x＋16＝3b2的左边得x2－4x＋16≡5（mod 8）．又由x2－4x＋16＝3b2得b为奇数，则有b2≡1（mod 8），故3b2≡3（mod 8），因此有5≡x2－4x＋16＝3b2≡3（mod 8），矛盾．因此在该情形下方程（2）无整数解．

情形Ⅳ：因为x为奇数，所以由x＋4＝3a2得a为奇数，则有a2≡1（mod 8），由x＋4＝3a2得x＝3a2－4≡7（mod 8），代入x2－4x＋16＝9b2的左边得x2－4x＋16≡5（mod 8）．又由x2－4x＋16＝9b2得b为奇数，则有b2≡1（mod 8），故9b2≡1（mod 8），因此有5≡x2－4x＋16＝9b2≡1（mod 8），矛盾．因此在该情形下方程（2）无整数解．

由此可见x为奇数时方程（2）无整数解．

综上有：丢番图方程方程（2）仅有整数解（x，y）＝（－4，0）．

［1］李复中.关于丢番图方程x3±64＝3Dy2［J］.东北师范大学报：自然科学版，1994，（2）：16－17.

［2］张海燕，李复中.关于丢番图方程x3±64＝Dy2［J］.哈尔滨科学技术大学学报，1994，18（3）：107－109.

［3］赵天.关于不定方程x3±23n＝3Dy2解的讨论［D］.重庆：重庆师范大学，2008.

［4］张攀.关于不定方程x3±64＝py2的研究［D］.西北大学，2012.

［5］廖军，普粉丽.关于丢番图方程x3＋64＝201y2的整数解［J］.河北北方学院学报：自然科学版，2019，29（6）：16－18.

［6］廖军.关于不定方程x3＋64＝273y2［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2014，31（4）：18－20.

［7］钱立凯，杜先存.关于不定方程x2±27＝py2［J］.西南民族大学学报：自然科学版，2013，39（4）：580－581.

［8］董小倩.关于不定方程x3±64＝67y2［J］.重庆工商大学学报：自然科学版，2014，31（10）：13－15.

责任编辑：时 凌

On Integer Solution of the Diophantine Equation x3＋64＝3y2

ZHAO Jingjing
（Department of Logistics Management，Dianxi Science and Technology Normal University，Lincang 677000，China）

The integer solutions of the Diophantine equation x3＋64＝3y2still remains unresolved.In this paper，we prove that the Diophantine Equation x3＋64＝3y2has only integer solution（x，y）＝（－4，0）with the help of the natures of odd number，even number and congruence.

integer solution；Diophantine equation；congruence

O156.1

A

1008－8423（2015）03－0266－02

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.008

2015－06－16.

云南省教育厅科学研究基金项目（2014Y462）.

赵晶晶（1986－），女（彝族），研究生，主要从事数论及计算机应用技术的研究.