半正定矩阵的特征刻画

朱光艳

（湖北民族学院预科教育学院，湖北 恩施 445000）

半正定矩阵的特征刻画

朱光艳

（湖北民族学院预科教育学院，湖北 恩施 445000）

主要讨论半正定矩阵特征值的有序性及其应用；研究了两个半正定矩阵的迹不等关系.

半正定矩阵；特征值；特征多项式；迹；Frobenius内积

半正定矩阵理论在数值分析、最优化理论、概率统计、运筹学、控制理论、力学、电子、信息科学与技术、管理学及工程学领域都有重要的应用.本文第一部分主要研究半正定矩阵特征值的有序性及其应用；第二部分讨论两个半正定矩阵的迹之间的大小关系.

1 半正定矩阵特征值的有序性

设Mm×n表示m×n矩阵集；Mn表示n阶方阵集；Cn表示n维复向量空间；PA（t）表示矩阵A的特征多项式；trA表示A的迹；A∗表示A的共轭转置；‖x‖2表示向量x∈Cn的Euclid范数；〈A，B〉F表示复向量空间V＝Mm，n上矩阵A、B的Frobenius内积；ei表示Cn上第i个元素为1，其它元素为0的向量．

定义1 设A∈Mn是Hermite矩阵，对任意非零向量x∈Cn总有x∗Ax≥0，则称A是半正定的．

定义2 复向量空间V＝Mm，n上的A、B的Frobenius内积〈A，B〉F＝trB∗A，由Frobenius内积导出的范数称为Mm×n上的l2范数（也称为Frobenius范数），如‖A‖2＝（trA∗A）1／2．

引理1 A∈Mn是Hermite矩阵，且有有序特征值λmin＝λ1≤λ2≤ ≤λn＝λmax，对任何单位向量x∈Cn都有：λmin≤x∗Ax≤λmax，右边（左边）不等式中的等号成立当且仅当Ax＝λmaxx（Ax＝λminx）时成立．此外，对任何非零向量x∈Cn，有：

引理2［1－3］设A∈Mn是半正定的，存在唯一确定的半正定矩阵B使得：B2＝A，此时记B＝A1／2．

引理3 A∈Mn是半正定矩阵当且仅当存在矩阵B∈Mm，n，使得：A＝B∗B．

证明（充分性） 对任意非零向量x∈Cn，总有：x∗Ax＝x∗B∗Bx＝（Bx）∗（Bx）＝≥0，由半正定矩阵的定义知A是半正定的．

（必要性）由引理2可知．

引理4［1－3］设A∈Mn，A是半正定矩阵当且仅当存在一个酉矩阵U使得A＝UΛU∗，其中Λ＝diag（λ1，λ2，…，λn），λi为A的特征值，且λi≥0．

引理5［2－7］设A∈Mm×n，B∈Mn×m（m＜n），那么BA的n个特征值是AB的m个特征值加上n－m个零，即PBA（t）＝tn－mPAB（t）．如果m＝n且A与B至少有一个是非奇异的，那么AB与BA相似．

引理6［2］设n≥2，A∈Mn是Hermite矩阵，且有有序特征值λ1≤λ2≤ ≤λn，设非零向量z∈Cn，矩阵M＝A＋zz∗有有序特征值β1≤β2≤ ≤βn；矩阵N＝A－zz∗有有序特征值γ1≤γ2≤ ≤γn，则：

其中λi＝δi成立的充要条件是：存在一个非零向量z∈Cn，使得Bz＝δiz，y∗z＝0及Bz＝λi＋1z．如果B没有与y正交的特征向量，则式（4）中的每一个不等式都是严格不等式．

引理9 A∈Mn是半正定的当且仅当对任意X∈Mn，m，X∗AX是半正定的．

证明（必要性） 对任意非零向量x∈Cn，都有x∗X∗AXx＝（Xx）∗A（Xx）≥0，所以X∗AX是半正定的．（充分性） 当X＝I时，X∗AX＝A，结论成立．

引理10 半正定矩阵A∈Mn的主对角元aii（i＝1，2，…，n）均为非负数．

证明 取向量x＝ei，则x∗Ax＝aii≥0．

2 两个半正定矩阵的迹之间的关系

定理1 设A∈Mn是半正定矩阵，且有有序特征值λmin＝λ1≤λ2≤ ≤λn＝λmax，对任何单位向量x∈Cn都有：λmin≤x∗Ax≤λmax，右边（左边）不等式中的等号成立当且仅当Ax＝λmaxx（Ax＝λminx）时成立．此外，对任何非零向量x∈Cn，有：

证明 由于半正定矩阵是Hermite矩阵，直接由引理1可得结论成立．

定理2 设A∈Mn是半正定矩阵，且有有序特征值λmin＝λ1≤λ2≤ ≤λn＝λmax，设非零向量z∈Cn，

iii）用两种方法证明交错不等式μ1≤λ1≤μ2≤λ2≤ ≤λn－1≤μn≤λn≤μn＋1成立．

证明 （i）由分块矩阵乘法运算直接可得．

（ii）对任意非零向量x∈Cn，都有：x∗（A＋zz∗）x＝x∗Ax＋x∗zz∗x＝x∗Ax＋‖z∗x‖22≥0，说明矩阵A＋zz∗是半正定的；令B＝（A1／2z），则D＝B∗B，由引理3可得D也是半正定的．由引理4，矩阵A＋zz∗与D的特征值均为非负数．由引理5，矩阵D的特征值为A＋zz∗的特征值再加一个零，因此可推出μ1＝0，且μ2≤ ≤μn≤μn＋1是A＋zz∗的有序排列的特征值．

（iii）第一种方法：由引理6可推出0≤λ1≤μ2≤λ2≤ ≤λn≤μn＋1；第二种方法：z∗z＝＞0，由引理7，μ1≤λ1≤μ2≤ ≤μn≤λn≤μn＋1．

定理3 设A、B∈Mn是半正定的，证明：

证明 （i）由引理 8Cauchy－Schwarz不等式，（trA∗A）（trB∗B）．而BA＝B1／2（B1／2A），由引理5，B1／2AB1／2与BA的特征值相同，由引理9，B1／2AB1／2是半正定的，其特征值均非负，所以trB∗A＝trBA＝trAB≥0，因此0≤trAB≤‖A‖2‖B‖2．

（ii）由引理4，存在酉矩阵U，使得A＝UΛU∗，其中Λ＝diag（λ1，λ2，…，λn），λi为A的特征值，且λi≥0．不妨设A＝diag（λ1，λ2，…，λn），设 bii（i＝1，2，…，n）为B的主对角元，由引理10，bii均为非负数，则 trAB＝由算术－几何平均值不等式得

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责任编辑：时 凌

A Characterization of Positive Semidefinite Matrices

ZHU Guangyan
（School of Preparatory Education，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

This paper discussed the order properties and application of the eigenvalue of positive semidef⁃inite matrices and studied the trace inequalities of two positive semidefinite matrices.

positive semidefinite matrices；eigenvalue；characteristic polynomial；trace；Frobenius inner product

O151

A

1008－8423（2015）03－0282－03

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.014

2015－05－16.

朱光艳（1980－），女，硕士，讲师，主要从事矩阵理论及应用的研究.