张文汇, 姜泽博
(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)
(n,m)-强Ding投射模
张文汇, 姜泽博
(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)
引入了一类Ding投射维数有限的模,即(n,m)-强Ding投射模.证明了对任意非负整数m和正整数n,若M是(n,m)-强Ding投射模,则M的Ding投射维数不超过m.同时,考查了这类模的合冲的相关性质.
n-强Ding投射模;(n,m)-SD投射模;Ding投射维数
1995年,Enochs等[1]在Gorenstein环上对任意模引入Gorenstein投射模的定义,推广了G-维数为0的有限生成模.目前,Gorenstein同调理论的发展已经取得了丰富的研究成果,同时也出现了许多新的模类,例如Ding投射模[2].
称R-模M是Ding投射模,如果存在正合序列
使得以下条件成立:(1)对任意自然数i,Pi和Pi都是投射模;(2)M≅Im(P0→P0);(3)对任意平坦模F,函子HomR(-,F)保持上序列的正合性.设n是任意正整数,称R-模M是n-强Ding投射模(简称n-SD投射模)[3],如果存在R-模的正合序列
其中Pi(1≤i≤n)是投射模,并且对任意平坦模F,HomR(-,F)保持上述序列的正合性.设
是模M的任意一个投射分解,称Ki=Kerfi-1(1≤i≤n)为M的第i次合冲.
2007年,Bennis[4]引入了强Gorenstein投射模的概念,证明了Gorenstein投射模是强Gorenstein投射模的直和因子.2011年,Zhao-Huang[5]引入了n-强Gorenstein投射模的概念.2009年,Bennis[6]引入并研究了(n,m)-强Gorenstein投射模,这些模类都是强Gorenstein投射模类的推广.受以上文献的启发,本文引入并考查一类特殊的(n,m)-强Gorenstein投射模,我们称之为(n,m)-强Ding投射模.
本文环均指有单位元的结合环,除非特别声明,模均指左R-模,pd(M)和Dpd(M)分别表示模M的投射维数与Ding投射维数.
引理1 设M和N是两个模,n是正整数.若M⊕P≅N⊕Q, 其中P,Q是投射模, 则M是n-强Ding投射模当且仅当N是n-强Ding投射模.
证明 由对称性只需证当M是n-强Ding投射模时,N是n-强Ding投射模.设M是n-强Ding投射模,则由文献[5]知M⊕P是n-强Ding投射模,于是存在正合列
其中Pi(1≤i≤n)是投射模,并且对任意平坦模F,函子HomR(-,F)保持上序列的正合性.由同构M⊕P≅N⊕Q知存在正合列
令Kn=Im(Pn→Pn-1),K2=Im(P2→P1),考虑推出图
由于N⊕Q是Ding投射模,故N是Ding投射模.又因为Kn是n-强Ding投射模,所以Kn是Ding投射模.由正合列
再考虑拉回图由第三行知Q1是投射模,于是将正合列
首尾相接便可得正合列
又由于上述三个序列都是HomR(-,F)正合的,故N是n-强Ding投射模. 】
命题1 设n是正整数,M是n-强Ding投射模,则以下结论成立:
(1)对任意正整数i,模M的第i次合冲是n-强Ding投射模;
(2)若
是模M的任意一个完全投射分解,则对任意整数i,Im(Pi→Pi-1)是n-强Ding投射模.
证明 (1) 由于M是n-强Ding投射模,所以存在正合列
其中Qi(i=0,1,…,n-1)是投射模,并且对任意平坦模F,上序列是HomR(-,F)正合的.
令Ki=Im(Qi→Qi-1)(i=1,2,…,n-1),则有正合序列
将两序列首尾相接得正合列
且对任意平坦模F,序列HomR(-, F)是正合的.这说明Ki(i=1,2,…,n-1)是n-强Ding投射模.于是由引理1可知:对任意正整数i,M的第i次合冲是n-强Ding投射模.
(2)因为M是n-强Ding投射模,由(1)的证明知存在M的完全投射分解
使得每个同态的像Im(Qi→Qi-1)都是n-强Ding投射模.由文献[7]命题1.8及文献[8]习题3.37的对偶形式可得,在M的任意一个完全分解
中,Im(Pi→Pi-1)与Im(Qi→Qi-1)投射等价,于是由引理1可知Im(Pi→Pi-1)是n-强Ding投射模. 】
定义1 设m,n是整数,其中n≥1,m≥0,称M是(n,m)-强Ding投射模(简称为(n,m)-SD投射模),如果存在正合列
注1 由定义1可知,强Ding投射模(简称SD投射模)是(1,0)-SD投射模.对任意正整数n,n-SD投射模是(n,0)-SD投射模; 投射维数不超过m的模是(n,m)-SD投射模.
引理2 设M是左R-模,m,n是整数,其中n≥1,m≥0,则下列结论成立:
(1)设M是(n,m)-SD投射模.对任意整数m′,若m′≥m,则M是(n,m′)-SD投射模;
(2)设M是(n,m)-SD投射模,k是任意正整数,则M是(kn,m)-SD投射模. 特别地, 每个(1,m)-SD投射模都是(n,m)-SD投射模.
证明 (1) 显然.
(2)因为M是(n,m)-SD投射模,所以存在如下正合列
引理3 (n,m)-SD投射模类关于直和封闭.
定理1 设整数n≥1,m≥0,M是(n,m)-SD投射模,则
(1)存在非负整数k使得Dpd(M)=k≤m;
(2)模M的第i(1≤i≤k)次合冲是(n,m-i)-SD投射模;
(3)模M的第i(i≥k)次合冲是(n,0)-SD投射模.
证明 先证明(1)和(2).由M是(n,m)-SD投射模可知存在正合列
其中pd(Qi)≤m,1≤i≤n,且对任意平坦模F,
考虑M的投射分解
分解为短正合列
其中Hn=M=H0,Hi=Ker(Qi→Hi-1),i=1,2,…,n-1.
对Hi(i=0,1,…,n),考虑短正合列
其中Pi,0(i=1,2,…,n-1)是投射模.令Pn,0=P0,0=P0,Kn,1=K0,1=K1,由马掌引理可得交换图
其中1≤i≤n,再将这n-1个图粘接,可得行正合变换图
(3)首先考虑M的第k次合冲Kk, 由Kk是Ding投射模,所以任取Kk的一个投射分解作为其完全投射分解的左半部分,可得正合列
其中Li(1≤i≤n)是投射模.因为Kk是Ding投射模,故对任意整数i>0及任意平坦模F,
这说明Kk是(n,0)-SD投射模.由命题1及(n,0)-SD投射模的定义可知,对任意i≥k,M的第i次合冲是(n,0)-SD投射模. 】
命题2 设M和N是模,若M⊕P≅N⊕Q, 其中P和Q具有有限的投射维数,整数n≥1,m=max{pd(P),pd(Q)},则M是(n,m)-SD投射模当且仅当N是(n,m)-SD投射模.
证明 由对称性只需证当M是(n,m)-SD投射模时,N是(n,m)-SD投射模即可. 由注1知P和Q都是(n,m)-SD投射模,于是当M是(n,m)-SD投射模时,由引理4可知直和M⊕ P≅N⊕Q是(n,m)-SD投射模.令H=N⊕Q,则存在正合列
下证N是(n,m)-SD投射模,将上述正合列分解为三个正合序列
注意到有可裂的短正合列
考虑同态f与g的推出及l与h的拉回
由定理1(1)可知H,E,F的Ding投射维数都小于等于m,故由以上两图知G1和Gn有有限的Ding投射维数且小于等于m.又由两图的中间列可知G1和Gn有有限的投射维数,所以
pd(G1)=Dpd(G1)≤m,
pd(Gn)=Dpd(Gn)≤m.
由正合列
可得正合列
定理2 设M为左R-模,整数n≥1,m≥0,则下列结论成立:
(1)若M既是Ding投射模又是(n,m)-SD投射模,则它是(n,0)-SD投射模;
(2)若M的第d(d≥1)次合冲是(n,m)-SD投射模,则存在正整数k,使得Dpd(M)=k≤d+m,且M的第i(i≥k)次合冲是(n,0)-SD投射模.
证明 (1) 类似于定理1(3)中Kk是(n,0)-SD投射模的证明.
(2) 因为M的第d(d≥1)次合冲是(n,m)-SD投射模,所以存在正整数k,使得Dpd(M)=k≤d+m.于是存在正合列
其中Pi(0≤i≤k-1)是投射模, Kk是Ding投射模.考虑Kk的完全投射分解的左半部分
其中Qk+i为投射模(i=0,1,…,d-k-1),Kd为Ding投射模.注意到Kd是M的第d次合冲,由命题2及M的任意两个第i次合冲投射等价可知 Kd是(n,m)-SD投射模. 由(1)知Kd是(n,0)-SD投射模,又由命题1知Kd的第i次合冲是n-SD投射模,并且它与M的第k+i次合冲投射等价, 再利用命题1可知M的第i(i≥k)次合冲是(n,0)-SD投射模. 】
[1]ENOCHSEE,JENDAOMG.Gorensteininjectiveandprojectivemodules[J].Math Z,1995,220(1):611-633.
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[4] BENNIS D,MAHDOU N.Strongly Gorenstein projective,injective,and flat modules[J].JAlgebraAppl,2007,210(2):437-445.
[5] ZHAO G Q,HUANG Z Y.n-strongly Gorenstein projective,injective and flat modules[J].CommAlgebra,2011,39(8):3044-3062.
[6] BENNIS D.(n,m)-strongly Gorenstien projective modules[J].IternaltionalElectronicJournalofAlgebra,2009,6:119-133.
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(责任编辑 马宇鸿)
(n,m)-stronglyDingprojectivemodules
ZHANGWen-hui,JIANGZe-bo
(CollegeofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)
A class modules of having finite Ding projective dimension are investigated in this paper,namely the (n,m)-strongly Ding projective modules.For nonnegative integralmand positive integraln,Ding projective dimension ofMis not larger thanmifMis (n,m)-strongly Ding projective module.At the same time,the homological properties of syzygy are discussed for the modules.Key words:n-strongly Ding projective modules;(n,m)-SD projective modules;Ding projective dimensions
2015-03-19;修改稿收到日期:2015-04-20
国家自然科学基金资助项目(11201376)
张文汇(1977—),女,甘肃天水人,副教授,博士,硕士研究生导师.主要研究方向为环的同调理论. E-mail:zhangwh@nwnu.edu.cn
O
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1001-988Ⅹ(2015)04-0021-05