三角函数高考热点评析

郑惠敏

摘要：本文对近年高职高考中三角函数的考点作了分类、分析和概述。通过范例的评析和解答，说明如何掌握解题的思想方法与技巧。

关键词：高职高考中；掌握解题

一、高考命题热点

近几年三角所占分值相对稳定，30分左右，比例较高，大概20%。题型以选择、填空为主，题目难度不大，主要考查三角基本公式与三角函數性质的简单应用；有些题目曾多次重复出现，如求最小正周期。每年都会有一道解三角形的大题，为了拉开考生得分的距离，考查考生的能力，近两年解三角形题目有新意，结合了和角公式，题目难度不大，但很巧妙。因此，注重书本上典型例题、习题和近几年高职考题，无疑是高考复习的重要举措。下面我们对近年来出现过的题型结构进行分析研究。

二、典型例题研究

（一）求最小正周期

例1（2013年）函数f（x）=3cos2x的最小正周期为。

例2（2015年）若函数f（x）=2sinωx的最小正周期为3π，则ω=（）

A、13B、23C、1D、2

评析：这两题考查了正弦型函数和余弦型函数的最小正周期T=2πω，答案分别为π、B。

例3（2010年）函数f（x）=sinxcosx是（）

A、最小正周期为2π的偶函数B、最小正周期为π的偶函数

C、最小正周期为2π的奇函数D、最小正周期为π的奇函数

例4（2012年）函数y=2sinxcosx的最小正周期为。

评析：这两题先利用二倍角公式把函数化为正弦型函数，再代公式T=2πω，答案分别为D、π。

例5（2011年）函数f（x）=（sin2x-cos2x）2的最小正周期及最大值分别是（）

A、π，1B、π，2C、π2，2D、π2，3

评析：这题第一问考查了完全平方公式、同角三角函数关系式、二倍角公式和正弦型函数的周期公式。

f（x）=（sin2x-cos2x）2=sin22x+2sin2xcos2x+cos22x=1+sin4x

T=2πω=2π4=π2

（二）求三角函数的最值

例1（2011年）函数f（x）=（sin2x-cos2x）2的最小正周期及最大值分别是（）

A、π，1B、π，2C、π2，2D、π2，3

评析：这题第二问考查了余弦型函数的最值，答案为C。

例2（2014年）函数f（x）=4sinxcosx（x∈R）的最大值是（）

A、1B、2C、4D、8

评析：这题考查了二倍角公式及余弦型函数的最值，答案为B。

（三）三角函数的定义

例1（2010年）已知点P（-1，2）是角α终边上的一点，则下列等式中，正确的是（）

A、sinx=-15B、sinx=25

C、cosx=-25D、cosx=15

例2（2011年）已知角θ终边上的一点的坐标为（x，3x）（x<0），则tanθ·cosθ=（）

A、-3B、-32C、33D、32

例3（2014年）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，3）是角θ终边上的一点，则tanθ=（）

A、35B、45C、43D、34

评析：这三题考查了三角函数的定义，直接代入即得答案为B。

例4（2012年）若角θ的终边经过两直线3x-2y-4=0和x+y-3=0的交点P，求角θ的正弦值和余弦值。

评析：此题没有按照常规直接给出角θ终边上一个点的坐标，而是通过求两直线的交点得出，题目难度不大，但设计巧妙。

解方程组3x-2y-4=0x+y-3=0，得x=2，y=1，则交点P的坐标为（2，1）。

∴r=22+12=5。于是sinθ=yr=15=55，cosθ=xr=25=255。

（四）三角函数诱导公式

例1（2011年）设α为任意角，则下列等式中，正确的是（）

A、sin（α-π2）=cosαB、cos（α-π2）=sinα

C、sin（α+π）=sinαD、cos（α+π）=cosα

例2（2012年）sin3900=（）

A、12B、22C、32D、1

例3（2013年）sin3300=（）

A、-12B、12C、-32D、32

评析：此三题考查了三角函数的诱导公式，直接代入即得答案都为A。

（五）三角函数的性质

例1（2010年）下列不等式中，正确的是（）

A、sin200

C、sin200>tan450D、cos200>tan450

评析：这题考查了三角函数的单调性及三角函数的特殊值，答案为A。

例2（2010年）函数f（x）=sinxcosx是（）

A、最小正周期为2π的偶函数B、最小正周期为π的偶函数

C、最小正周期为2π的奇函数D、最小正周期为π的奇函数

评析：这题第二问先利用二倍角公式把函数化为f（x）=12sin2x，很容易看出答案是π。

例3（2013年）下列函数为偶函数的是（）

A、y=exB、y=lgxC、y=sinxD、y=cosx

评析：这题综合考查了几种常见函数的奇偶性判断。定义域区间对称的只有A、C、D。再通过计算f（-x），A是非奇非偶，C是奇函数。答案是D。

（六）同角三角函数关系式

例1（2013年）若sinθ=45，tanθ>0，则cosθ=。

评析：这题根据同角平方关系式及三角函数的符号象限，可得答案是35。

例2（2015年）已知向量=（sinθ，2），=（1，cosθ）。若⊥，则tanθ=（）

A、-12B、12C、-2D、2

评析：这题考查了同角商数关系式及向量垂直的条件，答案是-2。

（七）解斜三角形

例1（2010年）在ΔABC中，已知∠A=450，cosB=1010。

1、求cosC；

2、若BC=5，求AC的长。

例2（2011年）已知ΔABC為锐角三角形，a、b、c是ΔABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是ΔABC的面积。若a=2、b=4、S=23，求边长c。

例3（2013年）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且b=1、c=3、∠C=23π。

1、求cosB的值；

2、求a的值。

评析：这三道题着重考查了正弦定理，其中例1用到同角的平方关系式、和角公式，例2用了面积公式，例3则结合了三角形内角和的知识。答案：例1（1）55（2）3。例223。例3（1）32（2）1。

例4（2015年）在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3、c=1、cosB=13，则b=。

例5（2012年）在ΔABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3、c=4、cosB=14。

1、求b的值；

2、求sinC的值。

例6（2014年）在ΔABC中，A、B、C的对应的边分别为a、b、c，且A+B=π3、c=3、∠C=23π。

1、求sinAcosB+cosAsinB的值；

2、若a=1、b=2，求c的值。

例7（2015年）已知函数f（x）=acos（x+π6）的图像经过点（π2，-12）。

1、求a的值；

2、若sinθ=13，0<θ<π2，求f（θ）。

评析：这三道题侧重考查了余弦定理，其中例5结合了同角的平方关系式内容，例6还考了和角公式，例7题意设计非常巧妙，糅合了函数知识、诱导公式及和角公式，有别于历年的大题。答案：例422。例5（1）19（2）28519。例6（1）32（2）7。例7（1）1（2）63-16。

综观近年来的高职试题，小题主要考查三角函数的定义、最小正周期、最值、诱导公式、单调性、奇偶性、同角关系式，有时会出现正弦定理和余弦定理，这两个定理是每年高考的必考内容，也是大题中的热点。同时会考查和角公式、同角三角函数关系式、面积公式。2015年的考题首次与函数结合。总的来说，试题难度不太大，重视基础知识。试卷命题保持了连续性和相对的稳定性。（作者单位：佛山市财经学校）