论函数的奇偶性

2015-07-06 17:48王庆举
试题与研究·教学论坛 2015年7期
关键词:偶函数奇函数奇偶性

王庆举

函数的奇偶性是高中数学中常考、必考的知识点,又经常和其他知识点结合在一起考查,下面我们探讨函数奇偶性的判定及一些性质和应用。

一、奇偶性的概念

1.函数的奇偶性的定义

(1)-般的,如果对于函数r=f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),就称f(x)是偶函数;

(2)-般的,如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=-f(x),就乖(x)是奇函数;

2.函数的奇偶性的判定步骤

(1)判定函数y=f(x)的定义域是否关于原点对称;

(2)如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x)或者(-x)=fx),就f(x)是偶函数或者是奇函数;

二、奇偶性的判定

(1)当一个函数的定义域不关于原点对称,则函数是非奇非偶;

(2)当一个函数的定义域关于原点对称,如果f(-x)=f(x),就称f(x)是偶函数;

(3)当一个函数的定义域关于原点对称,如果f(-x)=-f(x),就称f(x)是奇函数;

(4)当一个函数的定义域关于原点对称,如果f(-x)=?f(x),就称f(x)即奇又偶。

例1:判定下列函数的奇偶性

(4)已知函数f(x)满足对任意实数x,y都有厂(x+y)=f(x)+f(y),则求f(x)的奇偶性

解:(1)函数的定义域为{11不关于原点对称,则函数是非奇非偶;

(2)1-x≥0且lx+2 1-2≥0,解得x?[-1,0)U(0,1]定义域关于原点对称,

(3)1-x2≥0且x-l≥O,解得x∈{-1,1}定义域关于原点对f(x)即奇又偶;

(4)令x=y=0,则厂(0)=0,令y=-x.厂(0)可(x)+f(-x),f(x)=o,f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数。

三、利用函数的奇偶性求函数的解析式

例2:已知(x)是偶函数,g(x)是奇函数,它们的定义域均为,则求f(x),g(x)的解析式。

四、利用函数的奇偶性求证

五、利用函数的奇偶性求代数式的值

例4:已知(x+3y)3+x3+2x+3y=0,求2x+3y的值

解:由已知得(x+3y)3+x+3y=-(x3+x),设f(x)=X3+x,显然f(x)是奇函数且为增函数,则f(x+3y)=f(x)=f(-x),所以x+3y=-_x,则2x+3y=0。

函数的奇偶性通过研究函数的图象特点,从而进一步研究函数的其他的性质,以上的几个知识点可以提高学生在代数方面的推理认证能力,通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生的观察、归纳、抽象的能力,让学生体会数学在生活中的美,引导学生探讨、研究数学,激发学生的学习热情。

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