新课标三角函数中的数学思想

广东省惠州商贸旅游职业技术学校 崔志强

三角函数是新课标高中数学的主要内容之一，它蕴涵着丰富的数学思想。灵活地借助数学思想解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度。本文试图通过实例介绍三角函数中蕴涵的几种常用的数学思想方法。

一、函数思想

英国数学家克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。”而函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一，因此作为初等函数中的超越函数——三角函数，这种思想体现得更明显。

如例1：

例1已知且求的值。

解析：设方程求解；方法二利用万能公式，

由①得f（x）=2a

由②得f（2y）=-2a

∵f(μ)在区间上时是单调递增函数也是奇函数

∵f（x）=-f（2y）=f（-2y）

又∵x=-2y,即x+2y=0

∴cos（x+2y）=1

评析：把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。

二、方程的思想

方程看作是函数值为零的函数的特例，方程本身就提供了一种重要的数学思想方法。而解答有关三角函数问题时，可以利用方程与函数这种“与生俱来”的联系进行解题，往往能取到意想不到的效果。如例2：

例2. 已知sinθ+cosθ=，θ∈则

所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞|cosθ|，

将sinθ，cosθ看作是方程的两根。

所以sinθ

从而tan应填

（方法二）设

由

得

解得x=2

所以

评析：方法一能利用sinθ+cosθ构造构造方程求解。

三、数形结合的思想

三角函数的图象与性质是进几年来高考考试的热点，因此在解三角函数相关题目时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，以达到“以形助数”手段和“以数助形”的解题目的，提高解题效率。

例3设关于θ的方程在区间(0，π)内有两个不同的实根α、β，求：

（1）实数a的取值范围；

（2）α+β的值。

解析：若将原方程化为，那么原问题可转化为当三角函数的图像与直线有两个不同的交点时，求a的范围与α+β的值。

解析：（1）原方程化为，作出函数的图像，由图可知，方程在(0，2π)内有相异实根α、β的充要条件是：解得

（2）由图知，当即时，直线与的图像交于C、D两点，它们的中点的横坐标为所以

当即时，直线与三角函数的图像交于A、B两点，由对称性可知，即

综上所述，

评析：用数形结合思想，可以把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题。此题若不用数形结合法，用三角函数有界性求a的范围，不仅过程繁琐，而且很容易漏掉的限制，而从图像中可以看出时，方程只有一个解。

四、化归思想

化归思想在三角函数中应用非常普遍，主要体现在：①化多角的形式为单角的形式；②化多种函数名称为一种函数名称；③化未知角为已知角；④化高次为低次；⑤化特殊为一般。

例4已知定义求f(x)的解析式，以及它的最小正周期和最大值。

解析：∵

所以，所求函数的最小正周期为2π，最大值为2。

评析：由例5可以看到，通过三角变换，把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=a(sinωx+Φ)的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想。

五、分类讨论的思想

分类讨论就是当所给的对象不能进行统一研究时，就要对研究对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答，即是“化整为零”，各个击破，再“化零为整”的策略。

例6 若Δ A B C的三内角满足问此三角形是否可能为直角三角形？

解析：假设ΔABC可以为直角三角形

（1）若B=90°，则A=90°-C代入①中，得

∴cos2C=1+sinC

1-sin2C=1+sinC

∴sinC=-1这是不可能的。

∴B≠90°

（2）同理得C≠90°

（3）若A=90°，则①式右边①式左边=sinA=sin90°=1

所以此三角形为可直角三角形，且此时A=90°

六、换元思想

在三角函数问题中，通常引入变量，把问题转化成对新变量的讨论。这样通过转化原问题的结构，可以简化解题过程。如例7：

评析：通过换元把三角问题转化为代数问题进行讨论，这样可以避开三角函数解题，达到化繁为简、化难为易的目的。

例7 若的取值范围是_____

七、类比联想的思想

例8 已知λ为非零常数，x∈R,且f(x+λ)=问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析，由于探索的是周期函数问题，容易联想到三角函数，又f(x+λ)=的结构形式可与进行类比，故可把tanx看成是f（x）的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的由于周期函数tanx的周期T=故可猜想f(x)也为周期函数，且周期为4λ。

所以f(x)是周期函数，且4λ是它的一个周期。