从相似结构到相似构造法的微分方程边值问题求解方法综述

(西华大学应用数学研究所，四川 成都 610039)

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从相似结构到相似构造法的微分方程边值问题求解方法综述

李 顺 初

(西华大学应用数学研究所，四川 成都 610039)

论述从微分方程的边值问题的解的相似结构到求解微分方程的相似构造法的认识和形成过程，综述其研究现状，分析了研究的脉络，总结了当前研究的不足，指出了未来研究的方向。

微分方程； 边值问题； 相似结构；相似构造法

研究事物的相似特性，是人们认识世界的最重要的方法之一。本世纪之初兴起的微分方程解的相似结构的研究正处于生机勃勃的发展之时，尤其是2010年发表的文献[1]分析了解的相似思想的形成及研究的意义，剖析了解的相似结构与定解方程和边值条件间的联系，发现了一种利用相似结构式和相似核函数构造定解问题的解的方法——相似构造法，列举了一些在油气藏渗流问题中的应用实例，并对微分方程解的相似结构理论的研究与应用前景进行了展望；在其后的短短的4年间,相关的研究论文达60余篇，逐渐建立了微分方程解的相似结构理论的基础，且其应用范围也不断地在扩展，使理论与应用交相辉映，生机昂然。

本文通过对10余年来的相关的研究成果进行疏理，依据其理论基础进行分类和综述，找寻理论研究和应用的脉络。

1 微分方程解的相似结构与相似构造法

在文献[1]之前的相关研究中，本质上探讨的全是微分方程的解的相似结构，其硏究的特点是：

1)针对二阶齐次线性常微分方程的边值问题，研究其左(内)边界条件为非齐次的情形。

2)先对右(外)无穷大、第1类齐次、第2类齐次边界条件分别进行求解，再分析其解式，找到对应的相似核函数和边值问题的解的结构式(一个统一的表达式, 即解固有的相似结构式)。

3)分析左(内)边界条件中的参数对解的影响，由于可在同一坐标系下很方便地绘制不同右(外)边界条件的解曲线，为分析解的特性带来了全新的感知。

4)在应用到实际问题时，首先将其数学模型无量纲化；若为偏微分方程的初边值问题，则施行相应的积分变换将其转化为常微分方程的边值问题，在获得解的相似结构后，经逆积分变换即可编程制作相应的分析图版。

在文献[1]之后的研究进入了一个全新的阶段，其标志性的事件就是求解微分方程的相似构造法的提出，其特点为：

1)求解微分方程的相似构造法的思想来源于对微分方程的解的相似结构的深入研究；

2)直接针对第三类齐次(或非齐次)右(外)边界条件进行探讨，找寻边值问题的解的相似结构式和对应右(外)边界条件的相似核函数；

3)根据解的相似结构式设计出求解微分方程的边值问题的相似构造法；

4)相似构造法给求解微分方程的边值问题带来了全新的革命性创造，它避免了繁杂和冗长的理论推导过程，带来的却是优美的解式和清晰明了、简洁而易掌握的构造步骤，尤其是对实际问题中遇到的特定的方程来说，该方法还是一个代数的方法。

鉴于二者的上述紧密关系，也为方便了解相关研究的现状和发展趋势，下面分常规型、复合型和耦合型及组合型微分方程的边值问题的相似构造法的理论基础及其在石油工程中的应用进行评述和展望。

2 常规型微分方程的边值问题的相似构造法

文献[2]研究了如下常规型的二阶线性齐次微分方程的边值问题的解的存在性与唯一性

(1)

φ0,0(x1,x2)=y1(x1)y2(x2)-y1(x2)y2(x1)。

其中：

φ0,0(x,b)=y1(x)y2(b)-y1(b)y2(x)；

此式即为边值问题(1)的解。

这一过程，还可从下面的流程图(见图1)中看得更加清楚。

图1 常规型微分方程的边值问题的解的相似构造法流程图

实际上，只需知道边值问题(1)定解方程的一个非零解y1(x)，再利用Liouville公式构造另一个与之线性无关的解

也可完成上述相似构造法的求解过程(见文献[6])。

进一步地，文献[7]还研究了边值问题(1)中右(外)边界条件为非齐次的情况，将相似构造法进行了有益的推广。

由于科学与工程中常常遇到的是一些特殊方程，它们的解往往是特殊函数，而根据相应的特殊函数的微分递推关系式，可以消除上述第2步中的求导运算，从而使此类相似构造法转化成为一种代数方法，这在实际应用中具有极其现实的意义。已有研究的特殊方程有Bessel方程[8-9]、Euler超几何方程[10-12]、Airy方程[13]、Thomson方程[14]、第一种Weber方程[15]。

在具体应用方面，广泛的应用有待不断的扩展，现时还局限于求解和分析石油工程中的油气藏渗流问题这一领域，可用常规型微分方程边值问题的相似构造法去进行研究的油气藏渗流问题有：

1)均质油藏中的渗流问题[16-17]，分形均质油藏中的渗流问题[3,18-25]，考虑二次压力梯度的非线性均质油藏中的渗流问题[26-31]；

2)双孔油藏中的拟稳定渗流问题[32]，分形双孔油藏中的拟稳定渗流问题[9,33-34]，考虑二次压力梯度的非线性双孔油藏中的拟稳定渗流问题[35-37]；

3)双孔油藏中的不稳定渗流问题(球状基情形,见文献[38-41])，分形双孔油藏中的不稳定渗流问题(待硏)，考虑二次压力梯度的非线性双孔油藏中的不稳定渗流问题(待硏)；

4)多层合采油藏中的渗流问题[42-46]，分形多层合采油藏中的渗流问题[46-47]，考虑二次压力梯度的非线性多层合采油藏中的渗流问题[48-49]。

值得注意的是：1)这些研究还仅仅局限于平面径向流和球面向心流的情形(见图2)；2)在考虑二次压力梯度的非线性渗流问题时，需要事先作一个适当的函数变换，以消除定解方程中的非线性项；3)利用Laplace变换将其渗流模型转化为边值问题(1)，而后再用相似构造法，而利用其他的积分变换法和分离变换法等方法转化为边值问题(1)的情形，还有待探讨。

相似构造法在求解油气藏渗流模型中的地位是十分重要的(见图3)。

图2 已完成相似构造法求解的油气藏渗流模型

图3 相似构造法在求解油气藏渗流模型中的地位

3 复合型微分方程的边值问题的相似构造法

文献[50]研究了如下复合型的二阶线性齐次微分方程的边值问题的解的相似构造法：

(2)

其中：a,b,c,D,E,F,G,H,α,β均为已知的实常数,且D≠0,G2+H2≠0,a

第1步利用边值问题(2)中的左区定解方程

第2步利用边值问题(2)中的右区定解方程

文献[51]将边值问题(2)中的右(外)边值条件进行推广到了非齐次的情况。

对于一些特殊方程，此类相似构造法也可转化成为一种代数方法。已有研究的复合型的特殊方程有Bessel方程[51]、Hermit方程[52]、第一种Weber方程[53]。

在应用方面，现时也还是局限于求解和分析石油工程中的复合油气藏渗流问题领域，复合型微分方程边值问题的相似构造法同样是十分高效的工具，已经获得研究成果的有：

1)复合油藏中的渗流问题[54-59]；

2)分形复合油藏中的渗流问题[60-61]；

3)考虑二次压力梯度的非线性(分形)复合油藏中的渗流问题[62-64]。

有关复合型微分方程的边值问题的相似构造法的理论基础及应用研究还远未完善，同样也存在常规型微分方程在应用中需要注意的相同问题。

4 耦合型及组合型微分方程的边值问题的相似构造法

关于一般的耦合型微分方程的边值问题的相似构造法的理论基础还未建立起来，但耦合型微分方程的边值问题在现代科学和工程中却有十分广泛的应用，如在石油工程中的双渗透油气藏中的分析中就是迫切需要解决的问题。在这方面，已有一些很好的成果：文献[65]基于解的相似结构，探讨了双渗透油藏问题；文献[66-67]较为系统地硏究了双渗透油藏渗流模型解的相似构造法。这些结果为进一步的研究提供了很好的实例。

组合型微分方程的边值问题的相似构造法的研究正在开展中，已有的成果并不多(见文献[68-70])，根据工程(尤其是石油工程)中的需要，未来研究的方向是可以预见的，如表1所示(打“√”者为已研究项)。

表1 基础理论研究及具体应用的未来研究方向

由此可见，等待我们去探讨的东西可谓太多太多，若是再将其相关内容提升到数学层面和应用于其他学科，就更需不断努力了。

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(编校：叶超)

DevelopmentofSolutionApproachestoDifferentialEquationsFromtheSimilarStructureofSolutionstotheSimilarityConstructionMethod

LI Shun-chu

(InstituteofAppliedMathematicsofXihuaUniversity,Chengdu610039China)

This paper describes process of cognition and formation from similar structure of solutions to boundary - initial value problem to similarity construction method for differential equation. The research status is reviewed. And context of the research is analyzed. Summarizes the short comings of the present study, poiuts out the future research direction.

differential equation; boundary-values problems; similar structure; similarity construction method

2014-07-21

四川省教育厅自然科学重点项目(12ZA164)

李顺初(1963—)，男，教授，主要研究方向为微分方程及其应用。

O29；O357.3

：A

：1673-159X(2015)02-0022-8

10.3969/j.issn.1673-159X.2015.02.005