(滁州职业技术学院基础部,安徽 滁州239000)
·基础学科·
一类解析函数的性质
郭 栋,黄金超
(滁州职业技术学院基础部,安徽 滁州239000)
令H表示形如
f(z)=z+a2z2+a3z3+…
(1)
定义1 设λ≥0,α>0,定义
(2)
其中-1≤B 在U内有一个单叶解,其中 (3) 如果φ(z)=1+c1z+c2z2+...在U内解析且满足 (4) 则 φ(z)q(z), 且q(z)是(4)的最佳控制。 引理2[2]设-1≤B1≤B2 引理3[3]设f(z)∈H,g(z)∈H,F(z)∈K,若f(z)F(z),g(z)F(z),0≤λ≤1,则 λf(z)+(1-λ)g(z)F(z)。 引理4[4]假设p(z)=1+c1z+c2z2+...在U内解析,且p(z)≠0(z∈U)。如果存在一个点z0∈U满足 则 (5) (6) 且q(z)是(5)的最佳控制。 (7) 则p(z)=1+αa2z+…在U解析,对式(7)两边取对数导数,得 (8) 由式(1)和(8)得 (9) 则p(z)满足微分从属(4),所以由引理1,得 p(z)q(z)。 (10) 其中q(z)由式(6)给出,A=1-2ρ,B=-1。 因为-1≤B1≤B2 (11) (12) 同时 (13) 定理3 假设α>0,λ>0,γ>0。如果f(z)∈H满足 (14) 证明假设 其中φ(0)=1。由式(14)易得φ(z)≠0(z∈U)。事实上如果φ(z)在z=z1∈U有一个m级零点,则φ(z)能写成如下形式: φ(z)=(z-z1)mq(z),(m∈N+={1,2,3,...}), 其中φ(z)是U内的解析函数且φ(z1)≠0,所以有 (15) 然而,当z→z1时,式(15)的虚部取到任意小的值,这与(14)相矛盾,所以,若存在一点z0∈U满足 则有p(z0)≠0。由引理4和式(15),得: 则与式(14)相矛盾。所以有Reφ(z)>0(z∈U),即f(z)∈α-S*。 定理4 假设α>0,0≤ρ<1.如果f(z)∈H满足 (16) (17) R(λ,ρ)的界是最佳的。 证明由式(16)得 (18) 其中u(z)=1+u1z+u2z2+...是U内解析的正实部函数。对式(18)两边对数求导,得 (19) 在式(19)中应用我们熟悉的估计[4] 得 其中R(λ,ρ)由(17)给出。 要证明R(λ,ρ)的界是最佳的,假设f(z)∈H且满足 注意到 则R(λ,ρ)的界是最佳的。定理得证。 (20) 并且不等式是精确的。 1+n(α+nλ)an+1zn+… 1+(A-B)z+…,1 主要结果及证明