初中数学教材习题综合难度的国际比较研究

徐玉庆+武小鹏

＼[作者简介＼]徐玉庆（1985-），男，甘肃武威人。中学二级教师，硕士研究生，主要研究方向为课程教学论、比较研究。

＼[摘要＼]

数学教材中的习题在数学教学中发挥着重要的作用，习题的难度在一定程度上反映了教材的难度，本文利用一个综合难度模型，选取中国、美国、新加坡三套初中数学教材中“三角形有关的角”的内容，从习题的背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素进行分析，为我国初中数学教材编写提供参考。

＼[关键词＼]教材比较;初中数学;国际比较;综合难度模型;三角形

＼[中图分类号＼]G424.7＼[文献标识码＼]A＼[文章编号＼]10054634（2015）03012104

0引言

综合难度模型是一种利用等级权重来测量和统计难度的方法，该方法在国际比较教育领域发挥着重要作用。目前我国与之相关的研究成果中，代表性的有鲍建生、史宁中等在初中数学教材难度进行定量分析基础上建立了课程难度模型＼[1＼]、朱娅梅在鲍建生的基础上对中美初中数学教材进行了综合难度分析＼[2＼]、贾随军在鲍建生、史宁中建立的“由探究、背景、运算、推理和知识含量五个因素的基础上进行了微调，同时对中国与美国的数学教材中的习题进行了难度模型比较＼[3＼]。本文在贾随军教授的基础上，对中国、美国、新加坡三国初中数学教材中的“三角形的有关角”的习题进行难度模型比较。首先，统计各因素上每个水平层次中的习题题量及百分比;其次，根据等级权重利用下面的公式计算中、美、新教材在每个因素上的加权平均值：

di=∑jnijn（∑nij=n，i=1，2，3，4，5，j=1，2，…）

其中di（i=1，2，3，4，5），分别为“数学认知”、“背景”、“运算”、“推理”、“综合知识”五个难度因素上的取值;dij为第i个难度因素的第j个水平权重（以水平分别取1，2，3，…）;nij则表示这组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n＼[4＼]。

1样本选取

考虑到购买教材的便利性，故选取了人教版教材＼[5＼]、美国Glencoe Mathematics.Geometry＼[6＼]和New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal （Academic） Singapore＼[7＼]来进行比较研究。

本文中的习题包括：中国教材“三角形的有关角”中的“合作探究”、“练习”、“复习巩固”、“综合应用”、“拓广探索”等;美国教材中的例题（Example）、活动（Activity）、证明（Proof）、概念检查（Concept Check）、引导练习（Guide Practice）、应用（Application）为下节课做准备（Getting Ready for the Next Lesson）等;新加坡教材“三角形有关的角”中的“例题（Example）”、“练习（Exercise 6C、6D）”。从表1中统计的习题数量上可以看出，美国教材的习题最多，其次是人教社教材，接下来是新加坡教材，中国和新加坡教材差别不大。

表1样本教材及习题总数

国别教材样本出版年代习题数量

中国人民教育出版社：义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册200433

美国Glencoe Mathematics.Geometry.The McGrawHill Companies200473

新加坡New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal （Academic） Singapore： Marshall Cavendish Education200731

2综合难度模型

根据分析和计算得到表2的分析数据。

表2三国数学教材习题综合难度数据分析

难度

因素等级

水平题量百分比加权平均

人教新加坡美国人教新加坡美国人教新加坡美国

数学

认知理解0130%3.23%5.26%

运用21184463.64%58.06%77.20%

分析12121036.36%38.71%17.54%2.362.352.12

背景无背景29314087.88%100.00%70.18%

有背景401712.12%0.00%29.82%1.121.001.3

运算无运算2166.06%3.23%10.53%

数值运算23174469.70%54.84%77.19%

简单符号运算813724.24%41.94%12.28%2.182.392.02

推理无推理0130%3.23%5.26%

简单推理27275281.82%87.10%91.23%

复杂推理63218.18%9.68%3.51%2.182.061.98

综合知识1个18193654.55%61.29%63.16%

2个10102130.30%32.26%36.84%

3个以上52015.15%6.45%0%1.611.451.37

2.1数学认知因素水平的综合难度分析

由表2可得，三种教材在“理解”因素上差异较小，“运用”因素水平的习题数据表明，人教社教材比美国教材高了13%，美国教材比新加坡教材高出约19%，人教社教材比新加坡教材高出约5%;对于“分析”因素水平的习题，美国教材比人教社教材低了18%，美国教材比新加坡教材低了近21%，人教社教材比新加坡教材低了近2%。

美国教材“运用”因素水平上的习题所占比例很高，是由于美国教材注重概念、公理、定理的直接转化。而美国教材“分析”水平的习题比例偏低，是由于美国教材对每题的处理都“碎片化”，如图1（美国教材189页）所示，都是让把题目“碎片化”，将每道题目分解成几步，引导学生去完成，所涉及的定理都是单一的，然后让学生计算∠2和∠3等。相反，人教社教材对于习题的处理更加“整体化”、“综合化”，如图2（人教版82页）所示，直接给出所有的条件，计算∠ACB的度数。学生在解决问题的过程中将问题“碎片化”，从而建立解题策略，“分析”水平相对很高，新加坡教材的“分析”水平相对也很高，如图3（新加坡教材189页）＼[7＼]。但是新加坡教材和美国教材有着共同的特点——对于题目的处理“低起点”、“碎片化”＼[6，7＼]。

图1美国教材习题

图2人教版教材习题

图3新加坡教材习题

2.2背景因素的水平综合难度分析

有背景的习题比例，美国教材比人教社教材高出约18%，美国教材比新加坡教材高出约30%，人教社教材比新加坡教材高约12%。在统计过程中发现，新加坡教材没有一道题目有背景，全部习题都是纯粹的数值和符号运算。同属亚洲的人教社教材和新加坡教材“有背景”的习题很少出现;美国教材习题则有着丰富的生活背景＼[7＼]，有现实生活中如何制作风筝（How are the angles of triangles uses to make the kites）、跳台滑雪（ski jumping）、速滑（speed skating）等。

2.3运算因素的水平综合难度分析

在运算水平上，三种教材的主要运算形式是“数值运算”、“无运算”习题的比例都很低＼[8＼]。“数值运算”美国教材比人教社教材高约5%，比新加坡教材高约13%;而在“简单符号运算”中新加坡教材比人教社教材高约13%，比美国教材高约29%。

2.4推理因素的水平的综合难度分析

三种教材在“无推理”因素水平的习题所占比例并没有明显的差异＼[9＼]，人教社教材中没有无推理的题目，属于“简单推理”水平的习题相差不大，美国教材和新加坡教材简单运算的所占比例都很高;属于“复杂推理”水平的习题比例，人教社教材比美国教材高约15%，比新加坡教材高约8%，新加坡教材比美国教材高约7%。从统计中发现，同属亚洲的人教社教材和新加坡教材对于习题的推理要求都高于美国教材，人教社教材对习题的推理水平是三种教材中最高的。

2.5综合知识因素的水平综合难度分析

在综合知识方面，对于“1个知识点”和“2个知识点”，三种教材的要求基本一致，但是，对于“3个及以上知识点”习题的要求不同，美国教材要比人教社教材低近15%，但是，美国教材比新加坡教材高了近6%。由于美国教材强调题目的“碎片化”处理，所以对于“3个及以上的知识点”要求不是很高，题目相对较少。

2.6各因素水平综合难度的比较

前面通过五个难度因素对三种教材进行了详细比较，在此基础上利用综合难度模型综合难度值＼[10＼]。通过对表2中加权平均值的统计，得到下面的雷达图（图4）。

图4三种教材综合难度的比较

如图4所示，在认知水平方面，人教社教材和新加坡教材占据前两位;在背景方面美国教材最高，其次是人教社教材，新加坡教材第三;而且从图中发现三个五边形在背景方面都有向内倾的趋势，说明在教材习题的设计上关于实际背景的题目偏少;运算水平新加坡教材占据第一的位置;推理方面人教社教材占据第一，其次是新加坡教材，美国教材次之;在知识含量方面，人教社教材基本上每个题目都包含2个知识点，3个及以上的知识点习题也是远高于美国教材和新加坡教材的。

3启示

首先，中美新三国初中数学对于学生在“认知”、“运算”、“推理”中的能力要求都很高;而中国和新加坡教材对学生的综合推理能力要求相对较高;美国教材处理习题更加注重层次化、碎片化，即将一个综合问题分解成若干小问题，这和目前国内通用的导学案有相同之处，意在引导学生独立解决问题。同样，新加坡教材中的习题也有这个特点，将一个复杂问题分解成几个小问题，而且美国和新加坡教材在题目的设计结构上有共同之处;人教社教材更注重推理的综合化、模块化，对学生综合能力的要求相对较高。所以，美国和新加坡教材对于习题的处理方面值得中国教材借鉴。

其次，在背景因素水平方面，人教社教材和新加坡教材中含有背景的题目要远远低于美国教材，美国教材对于题目的设计贴近于生活，包含了生活中的许多场景，呈现方式也很丰富＼[10＼];人教社教材习题所含的背景很少，且没有很好地和学生的实际生活相联系，好多题目都是纯粹的推理计算;新加坡教材完全是单一的数值符号运算，没有一道题目有实际背景;所以，在教材习题的设计过程中，要更加注重教材和现实生活的联系，让学生感受到知识来源于生活，同时服务于生活，让学生学习有用的知识。

最后，同属亚洲的人教社教材和新加坡教材在“运算”、“推理”方面有共同之处，更加强调学生解决问题的综合能力，更加注重学生的运算推理能力;美国教材则注重问题的引导及问题的生活化，每道题目起点都比较低，学生可以利用简单的计算和推理就能解决，对于复杂的题目也是同样的处理方式，新加坡教材的大部分题目起点也比较低，易于学生尝试去解决，这些值得我国在编写初中数学教材时去借鉴。

参考文献

＼[1＼] 王建磐，鲍建生.高中数学教材中例题的综合难度的国际比较＼[J＼].全球教育展望，2014，（8）：101110.

＼[2＼] 朱娅梅.中美初中数学教材综合难度的比较研究＼[J＼].数学教学，2013：10.

＼[3＼] 贾随军，吕世虎，李保臻.中国与美国初中数学教材习题的个案比较——以“与三角形有关的角”为例＼[J＼].数学通报，2014，（9）：1723.

＼[4＼] 蔡庆有，邝孔秀，宋乃庆.小学数学教材难度模型研究＼[J＼].教育学报，2013，（5）：99103.

＼[5＼] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开放中心.义务教育课程标准试验教课数·数学·七年级（下册）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2004：7883.

＼[6＼] Carol B，Jerry C，Carol M，et al.Glencoe Mathematics.Geometry＼[M＼].The McGraw-Hill Companies，2004：184191.

＼[7＼] New Mathematics Counts for Secondary 2 Normal（Academic）＼[M＼].Singapore：Marshall Cavendish Education，2007：184189.

＼[8＼] 张维忠，黄丽虹.新教材“三角形”课程难度的对比分析＼[J＼].数学教育学报，2009，（4）：6164.

＼[9＼] 孙露.初中数学形成性测试卷与课程标准的一致性分析——以“图形与几何”领域为例＼[D＼].黄山：黄山学院，2012.

＼[10＼] 张婷.高中数列不同版本教科书内容的比较研究＼[D＼].长春：东北师范大学，2009.

Comparison on composite difficulties of problem sets in junior school

The angle of triangle from China，the United States and Singapore

XU Yuqing1，WU Xiaopeng2

（1.The Junior Forth School of Jiuquan，Jiuquan，Gansu 735000，China;

2.Lanzhou Fourteenth High School，Lanzhou，Gansu730000，China）

AbstractThe problem sets in mathematics textbooks play a multi-functional role in mathematics teaching and learning， and the difficulty of problem sets affects the difficulty of mathematics textbooks.With three sets of junior school mathematics textbooks from China，Singapore，and the United States about the angle of triangle，the present paper uses a composite difficulty model to analyze the difficulty levels of problem sets in the textbooks with respect to 5 factors—the problem context，the mathematical cognition，the computation complexity，the reasoning difficulty，and the topic coverage of the angle of triangle.It may provide references for the compilation of junior school mathematics textbooks in our country.

Key wordstextbooks compare;junior school mathematics;international comparison;comprehensive difficulty model;triangle