基于位姿分离法的模块化机械臂逆运动学分析

雷静桃,戴文杰

(上海大学机电工程与自动化学院,上海 200072)

基于位姿分离法的模块化机械臂逆运动学分析

雷静桃,戴文杰

(上海大学机电工程与自动化学院,上海 200072)

分析了7自由度冗余机械臂的运动学正逆解,采用Denavit-Hartenberg(D-H)坐标法进行正运动学建模,获得机械臂末端相对于基座的空间位姿;采用位姿分离法进行逆运动学建模.求位置逆解时,由约束条件分别获得前4个关节角位移解析解;求姿态逆解时,采用欧拉角表示机械臂末端相对于基座的姿态,减少了计算量.以SCHUNK模块化7自由度机械臂为例,进行了运动学正逆解分析,并基于虚拟样机进行了仿真验证.

7自由度;冗余机械臂;逆运动学;位姿分离法

7自由度机械臂属于冗余自由度机械臂[1].在机械臂末端(以下简称末端)位姿确定的情况下,非冗余机械臂的关节变量和末端位姿是一一对应的.而冗余机械臂和非冗余机械臂最大的区别就在于自运动特性[2].同样在末端位姿确定的情况下,冗余自由度机械臂有多组关节角与之相对应,这就可以避开某些受限的关节角.7自由度机械臂因其具有避障、避奇异点、灵活性好等优点[3],因此得到广泛应用.7自由度机械臂末端位姿对应多组逆解,求解7自由度机械臂逆解有一定难度,主要分析方法有梯度投影法[4]、神经网络算法[5]、遗传算法[6]等.文献[7]提出了第4个关节角的额外约束,运用了较多的矩阵变换.文献[8]采用位姿分离法求解机械臂正逆解,用9个参数表示末端姿态.

本研究采用位姿分离法分析机械臂逆运动学.首先,采用Denavit-Hartenberg(D-H)坐标法进行正运动学建模,姿态逆解时采用欧拉角表示末端相对于基座的姿态,将姿态变量减为3个,从而减少了计算量.

1 正运动学分析

机械臂正运动学即根据机械臂的各关节变量求解机械臂末端的位姿.在机械臂各连杆上建立D-H坐标系,计算相邻连杆间的齐次坐标变换矩阵,进而计算机械臂末端相对于基座的齐次变换矩阵.

1.1 连杆坐标系及参数表

模块化机械臂由若干单自由度模块化关节和连杆串联而成,7自由度机械臂有7个关节,初始状态为机械臂竖直向上的展开状态.

通过7自由度机械臂建立D-H坐标系(见图1),自下而上为机械臂的每个关节编号1∼7, Oi表示各个坐标系原点,其中O1和O2重合,O3和O4重合,O5,O6和O7重合.第1,3,5,7关节的旋转轴线均垂直于地面,第2,4,6关节的旋转轴线与地面平行,其中第5,6,7关节的旋转轴线相交于一点.

图1 D-H坐标系Fig.1 D-H coordinate systems

1.2 机械臂正运动学

根据D-H坐标系,D-H参数如表1所示.相邻两连杆齐次坐标变换矩阵通式为

式中,ai−1,αi−1,di,θi为一组D-H参数,cθi=cosθi,sθi=sinθi.

表1 D-H坐标系参数Table 1 D-H coordinate parameters

由式(1)依次计算机械臂相邻两连杆间的齐次坐标变换矩阵,则机械臂末端相对于基座的齐次坐标变换矩阵为

式中,

其中ci=cosθi,si=sinθi,i=1,2,…,7.07T中各元素参见附录A.

2 逆运动学分析

机械臂的逆运动学分析,即已知机械臂末端空间位姿,求解各关节变量,通常采用反变换法、几何法和解析法等.7自由度机械臂运动学逆解是研究难点之一.从式(2)中的px,py, pz可以看出,机械臂末端位置只与前4个关节变量有关,θ5,θ6,θ7与机械臂末端的空间位置无关,仅与机械臂末端的空间姿态有关.故可采用位姿分离法进行7自由度机械臂逆运动学分析.

2.1 机械臂位置逆解

由于7自由度机械臂是冗余的,因此进行逆运动学分析时,除了需给定末端位姿外,还需增加机械臂的一个约束条件.最简单的方法即指定一个冗余关节,其关节角位移可以是转动范围内的任意值.

前4个关节变量中第4关节变量可基于O1和O7的坐标用解析法直接求得,而第1,2关节都会对末端位置产生直接影响,因此选取第3关节为冗余关节.

下面根据机械臂末端位置和θ3来求解θ1,θ2,θ4.

(1)关节变量θ4.由于机械臂的第2,4关节和末端关节的中心始终在同一平面上,因此可以采用几何解析法求解θ4(见图2).

图2 运动学逆解示意图Fig.2 Schematic diagram of inverse kinematics

图2所示的△O2O4O5中,采用余弦定理可求出∠O2O4O5,则由θ4和∠O2O4O5的互补关系可求得

式中,l1=O0O2,l2=O2O4,l3=O4O5,末端位置坐标为(px,py,pz).

(2)关节变量θ2.由式(2)中

(3)关节变量θ1.由式(2)中

2.2 机械臂姿态逆解

下面根据期望的机械臂末端姿态,求解关节变量θ5,θ6和θ7.设定z-y-z欧拉角(α,β,γ)表示机械臂末端相对于基座的空间姿态,则用欧拉角表示的末端相对于基座的齐次变换矩阵为

求得.由

为已知,可求得θ5,θ6和θ7,即

式中,

假设机械臂末端的空间姿态即欧拉角已知,则由式(6)可确定关节变量θ5,θ6,θ7.

2.3 计算示例

2.3.1 机械臂结构参数

以SCHUNK公司的模块化7自由度机械臂为例,根据期望末端空间位姿,通过运动学逆解计算各关节角位移.7自由度机械臂结构如图3所示.机械臂结构参数为l1= 293.5 mm,l2=340.0 mm,l3=294.5 mm.

图3 模块化7自由度机械臂Fig.3 Modular 7-DOF manipulator

2.3.2 末端期望空间位姿

选择机械臂末端点为第5,6,7关节回转轴线的交点,末端姿态用欧拉角表示.机械臂初始状态为竖直展开状态.

(1)设定末端期望位置.设末端期望运动轨迹共100 s,由以下3个分段函数组成:当0 ≤ t<40时,

当40 ≤ t<60时,

当60 ≤ t ≤ 100时,

机械臂末端期望运动轨迹如图4所示.

图4 设定的末端轨迹Fig.4 Predefined track of the end-effector

(2)设定末端期望姿态.机械臂末端姿态用欧拉角表示,设定欧拉角如下:当0 6 t< 40时,

当40 ≤ t<60时,

当60 ≤ t ≤ 100时,

设定的机械臂末端姿态变化如图5所示.

图5 设定的末端姿态Fig.5 Predefined pose of end-effector

2.3.3 逆解计算

根据机械臂末端期望位姿,计算各关节变量随时间的变化曲线如图6所示.可以看出,各关节角位移连续无突变,可以满足机械臂运动平稳性的要求.

图6 各关节角位移Fig.6 Angle displacement of each joint

3 逆运动学仿真验证

以SCHUNK模块化7自由度机械臂为例,基于虚拟样机技术进行逆运动学建模仿真验证.将机械臂三维模型导入ADAMS建模与仿真软件中,定义各连杆和关节的约束关系,添加各关节运动驱动函数,用STEP函数表示,仿真周期为100 s.机械臂虚拟样机模型如图7所示.

虚拟样机仿真结果即末端空间位置在基坐标系中沿各坐标运动轨迹,以及用欧拉角表示的末端空间姿态如图8所示.

图7 机械臂仿真模型Fig.7 Simulation model of manipulator

通过机械臂虚拟样机仿真,得到末端运动轨迹在3个坐标轴上的投影,如图8(a)和(b)所示.与图4设定的期望轨迹对比,可以看出:理论计算与仿真结果一致.

通过机械臂虚拟样机仿真,获得的机械臂末端姿态用欧拉角表示,如图8(c)所示.与图5设定的期望姿态对比,可以看出:理论计算与仿真结果基本一致.

图8 ADAMS仿真结果Fig.8 Simulation results in ADAMS

4 结束语

冗余机械臂能提高机械臂的灵活性,但会增加机械臂逆运动学求解难度.本研究采用位姿分离法,求解7-DOF机械臂逆运动学解析解.求姿态逆解时,采用3个欧拉角描述姿态,减少了运算量.以SCHUNK机械臂为例,进行运动学正逆解分析,并基于虚拟样机技术进行了仿真验证.

[1]陈鹏,刘璐.一种仿人机械臂的运动学逆解的几何求解方法[J].机器人,2012,34(2):211-216.

[2]Dagraca M M,Fernando B M D,Machado J A T.Fractional dynamics in the trajectory control of redundant manipulators[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2008,13(9):1836-1844.

[3]张秋毫,孙汉旭,叶平,等.冗余度机器人附加速度避障方法[J].机电产品开发与创新,2004,17(3): 4-6.

[4]赵建文,李来航,左志远.冗余度机器人梯度投影逆解算法的改进[J].机械科学与技术,2009,28(5): 618-621.

[5]Yun Y S,Moon C.Comparison of adaptive genetic algorithm for engineering optimization problems[J].International Journal of Industrial Engineering,2003,10(4):584-590.

[6]Wang J P,Xu C S,Sun X J,et al.A novel genetic algorithm and its application in variable structure control of robot[J].Journal of Shanghai University:English Edition,2005,9(3): 255-260.

[7]王海,蔡凤英,张为公.一种7DOF机械臂逆运动学解析算法及其应用[J].江苏大学学报:自然科学版,2011,32(3):254-259.

[8]徐俊虎,栾楠,张诗雷,等.7自由度机械臂的运动学逆解与优化[J].机电一体化,2011,6:28-33.

附录A

Inverse kinematics analysis of modular manipulator by separating attitude from position

LEI Jing-tao,DAI Wen-jie
(School of Mechatronic Engineering and Automation,Shanghai University,Shanghai 200072,China)

The kinematics for a 7-DOF(degrees of freedom)redundant manipulator is analyzed.The Denavit-Hartenberg(D-H)method is used to analyze forward kinematics. Position and attitude of the end-effector with respect to the base are obtained.Attitude is separated from position in analyzing inverse kinematics.For the position inverse kinematics,angular-displacement of the former four joints is obtained under a constraint condition. For the attitude inverse kinematics,the Euler angles are used to describe attitude of the end-effector with respect to the base.This way,the calculation is reduced.For the modular 7-DOF manipulator produced by SCHUNK,kinematics is analyzed and verified by virtual prototyping simulation.

7-DOF;redundant manipulator;inverse kinematics;separating attitude from position

TP 242

A

1007-2861(2015)05-0588-10

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.02.015

2013-12-06

国家高技术研究发展计划(863计划)子课题资助项目(SS2012AA041604)

雷静桃(1970—),女,副教授,研究方向为机器人技术.E-mail:jtlei2000@163.com