公因数与公倍数的典型应用

张基军

利用求最大公因数和最小公倍数的方法，可以轻松解决很多用常规方法难以解决的问题。这种方法究竟有多神奇？让我们一起来看看吧。

【例1】一个房间长90分米，宽66分米。现计划用正方形方砖铺地，需要用边长最大为多少分米的整砖多少块，才能刚好铺满整个房间？

【分析与解】要想用整块边长尽可能大的方砖刚好铺满房间，那么每块方砖的边长必须是90和66的最大公因数。90和66的最大公因数是6，所以正方形方砖的边长应是6分米。

房间的面积：90×66=5940（平方分米）

方砖的面积：6×6=36（平方分米）

需要方砖的块数：5940÷36=165（块）

此类问题的解题关键是抓住“边长最大”“刚好铺满”等关键词，找出问题的本质——求最大公因数来解决问题。

【例2】把46块水果糖和38块巧克力平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩3块。这个组最多有几位同学？

【分析与解】如果将多余的1块水果糖和3块巧克力减去，则剩下的水果糖和巧克力刚好分完。要求出这个小组最多有几位同学，实际就是计算45（46-1）和35（38-3）的最大公因数。45的因数有1、3、5、9、15、45，35的因数有1、5、7、35，45和35的公因数是5，所以这个组最多有5人。

【例3】红旗印刷厂印刷一批书，每12本扎成一捆，就多出11本；每18本扎成一捆，就少1本。已知这批书总本数在550～600之间，这批书共有多少本？

【分析与解】根据题意，“每12本扎成一捆，就多出11本”，也可理解为每12本扎成一捆，就少1本。将少的1本先补上，这样书的本数就正好是12和18的倍数。12与18的最小公倍数是36。因为这批书的本数在550-600之间，600÷36=16……24，所以书的本数为36×16=576（本）。再将补上的1本减去，所以这批书总共有576-1=575（本）。

【例4】小明家到学校的路上竖有电线杆55根。原来每相隔50米的距离竖1根，现在要改成每相隔60米的距离竖1根，那么除两端的两根电线杆不需移动外，中间有多少根也不需移动？

【分析与解】中间第1根不必移动的电线杆，它的位置是50和60的最小公倍数处的那一根；以50和60的最小公倍数作为一个周期，看总距离中包含着几个这样的周期就有几根电线杆不用移动。第1根电线杆到最后1根电线杆的总距离是50×（55-1）=2700（米），50和60的最小公倍数是300，即从第1根开始，每隔300米的那一根电线杆不需移动，这样的电线杆共有2700÷300=9（根），再去掉最后一根，中间共有9-1=8（根）不需移动。

【练一练】

1 有336个苹果，252个橘子，210个梨，用这些水果最多可分成若干份同样的礼物。在每份礼物中，苹果、橘子、梨各有多少个？

2 甲、乙两人在同一公司上班，甲每上班2天休假1天，乙每上班3天休假1天。甲、乙两人在某个星期天休假时商议，下一次休假若都在星期天就一起出游，则此两人共同出游与此次商议至少需相差多少天？