力随速度变化问题的归类分析

马 华

（江苏省如皋市搬经中学，江苏 如皋 226561）

受力分析和运动分析是解决物体运动问题的两个重要手段.物体受力变化必定影响物体的加速度，物体的加速度变化也会影响物体的速度变化.如果物体受力随物体速度变化而变化，那么物体的加速度也就随速度变化而变化，这就形成了一个变化循环.也正是因为这个循环的存在，使力随速度变化的物体运动问题难度陡然增加.本文就高中阶段常见的几种“力随速度变化问题”进行归类分析，以期找出这类问题的一般性解法.

1 物体下落过程中，阻力随速度变化

例1.若质量为m的物体在空气中由静止开始下落的过程中，受到的阻力与物体的速度成正比，即f＝kv（其中k为常数），物体从足够高处下落，求：（1）物体运动的最大速度和最大加速度.（2）物体速度为最大速度一半时的加速度.

解析：分析物体具有速度v时受力如图1.运用牛顿第二定律列式

（1）由上式可知物体下落过程中做加速度减小的加速运动，当v＝0时，物体加速度最大，且am＝g，当a＝0时，物体最大速度为

图1

由例题1的解题过程可以看到，物体下落过程中物体阻力随速度变化而变化.解决这类问题，首先要分析物体在一般情形下（有速度时）受力，然后根据牛顿第二定律列式，再对该式进行讨论即可.

2 机车启动过程中，牵引力随速度变化

例2.汽车发动机的额定牵引功率为60kW，汽车的质量为5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，试求：

（1）若汽车保持额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速运动，这段过程能维持多长时间？

（3）如果阻力不变，汽车在水平路面上以v＝10m/s速度行驶，实际功率多大？此时汽车的加速度又是多大？

解析：分析汽车具有速度v时受力如图2.运用牛顿第二定律列式

图2

（1）汽车在水平路面上行驶时，由于牵引功率保持不变，则汽车的加速度逐渐减小，当a＝0，汽车的速度达到最大值vm.

（2）汽车从静止开始，以0.5m/s2的加速度做匀加速行驶，要求得这个过程所能维持的时间，必须求出匀加速过程的最大速度vm′.而达到速度vm′时汽车的实际功率恰好达到额定功率，所以根据两个基本关系式F－f＝ma和P＝Fv，就可以求出保持匀加速运动过程的牵引力F从而求出了vm′.

由F－f＝ma，得F＝7.5×103N，则

所以匀加速运动能维持的时间为

（3）由于vm′＜10m/s＜vm，表明当v＝10m/s时，汽车处于额定功率下且做加速度逐渐减小的加速运动.将相关数据代人（1）式，得汽车的加速度为a＝0.2m/s2.

对机车进行受力分析，然后运用牛顿第二定律列式，同样是解决机车启动问题的必要步骤，需要提醒的是机车匀加速启动的末状态，是机车功率达到额定功率而不是速度达到最大.

3 带电物体在复合场中运动，洛伦兹力随速度变化

例3.如图3所示，在互相垂直的水平方向的匀强电场（E已知）和匀强磁场（B已知）中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为m，电荷量为正q的小球，它们之间的摩擦因素为μ，现由静止释放小球，试求小球沿棒运动的最大加速度和最大速度（mg＞μqE，小球的带电荷量不变）.

解析：分析小球下滑过程中受力如图4，运用牛顿第二定律列式

图3

图4

在小球下滑过程中，随着小球速度增大，小球受到的洛伦兹力增大，杆对小球的弹力增大，小球受到的摩擦力也就增大，导致小球加速度减小，因此小球做加速度减小的加速运动.

当v＝0时，物体加速度最大，且

当a＝0时，物体速度最大，且

这类题型，仍然要先对小球进行正确的受力分析，由受力情况结合牛顿运动定律判断出小球的运动情况.

4 导体棒切割磁感线运动，安培力随速度变化

例4.如图5所示，有一足够长的光滑平行金属导轨，电阻不计，间距L＝0.5m，导轨沿与水平方向成θ＝30°倾斜放置，底部连接有一个阻值为R＝3Ω的电阻.现将一个长也为L＝0.5m、质量为m＝0.2kg、电阻r＝2Ω的均匀金属棒，自轨道顶部静止释放后沿轨道自由滑下，下滑中均保持与轨道垂直并接触良好，经一段距离后进入一垂直轨道平面的匀强磁场中，如图5所示.磁场上部有边界OP，下部无边界，磁感应强度B＝2T.金属棒进入磁场后又运动了一段距离便开始做匀速直线运动，取g＝10m/s2.求：

图5

（1）金属棒匀速运动时的速度v0；

（2）金属棒进入磁场后，当速度v＝6m/s时，其加速度a的大小及方向.

解析：（1）分析导体棒在磁场中沿斜面下滑过程中受力如图6.由牛顿第二定律得

图6

当a＝0时，v0＝5m/s.

（2）若导体棒进入磁场是速度小于5m/s，则导体棒做加速度减小的加速运动，直到匀速.若导体棒进入磁场是速度大于5m/s，其加速度的表达式变为

美国教育心理学家格拉泽和齐比较了专家和新手对物理问题表征的差异，专家认为当两个物理问题所运用的原理相同时，这两个问题是相似的，新手认为两个物理问题的表面特征相似时，两个问题是相似的.本文中的4个问题，有力学问题，有电磁学问题，表面上看差异很大，但它们有十分相似的分析方法，那就是先对物体进行正确的受力分析，由受力情况结合牛顿运动定律判断出物体的运动情况.因此，将它们都归为一类，无疑对减轻学生负担，提高学生举一反三的能力是有帮助的.