微弱动不平衡信号的谐波小波包提取

张中华　李智

摘 要： 在刚性转子动平衡修正中，对有效的振动信号进行检测和提取是直接关系到后期计算与动平衡修正效果好坏的最关键的一个环节，谐波小波具有良好的盒形谱特性、存在明确的函数表达式、时域定位准确和算法实现简单等优点，而在谐波小波的基础上实现的谐波小波包算法既拥有谐波小波的优点，并且还能对分析频段进行任意的划分，以便提取和分析更加细致的信息，通过模拟给出了采样信号，并使用谐波小波包算法对采样信号进行滤波处理，有效地滤除了干扰信号，最终成功地提取到了目标振动信号。

关键词： 动平衡； 谐波小波包变换； 信号提取； 振动信号

中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2015）11?0095?03

Harmonic wavelet packet extraction of weak dynamic unbalance signals

ZHANG Zhong?hua， LI Zhi

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract： In rigid rotor dynamic balance correction， the effective vibration signal detection and extraction are the most critical link which are related to the later calculation and dynamic balance correction effect directly. The harmonic wavelet has advantages of good box?like spectrum characteristic， explicit function expression， accurate positioning in time domain and simple algorithm realization. The harmonic wavelet packet algorithm based on harmonic wavelet has advantages of harmonic wavelet and can divide any analyzed frequency band arbitrarily for extraction and analysis of the more detailed information. The simulated sample signal is provided in this paper. The filtering processing for the sample signal is proceeded by harmonic wavelet packet algorithm to filter out the interference signals effectively. The target vibration signal was extracted successfully.

Keywords： dynamic balance； harmonic wavelet packet transformation； signal extraction； vibration signal

0 引 言

转子的不平衡是旋转机械的主要激振源，也是许多种自激振动的触发因素。不平衡会引起转子挠曲和内应力，使机器产生振动和噪声，加速轴承、轴封等零件的磨损，降低机器的工作效率，有时甚至会引起各种严重的事故。据统计，由于不平衡原因而引起的振动故障约占机器总故障的24%，对于高速旋转的机械，由于不平衡原因引起的振动十分显著。消除或减小机器振动首先考虑是对转子进行平衡，消除或减小机器旋转零部件因失衡而引起的不平衡惯性力，使机器的振动限制在容许的范围内。所以要对动不平衡的转子进行动平衡的修正，转子动平衡的关键是提取转子不平衡振动的振幅与相位。不平衡振动信号的测相、测幅原理如图1所示。图中不平衡相位角[?]为不平衡振动信号最大值（振幅）同基准信号上升沿之间的夹角。所以要对一转子实施动平衡的首要条件是提取一组稳定的不平衡振动信号和基准信号，然后按图1的方法求得不平衡信号的振幅和相位。

另外由于实际的检测环境中有非常多的干扰因素，这就导致采样信号中包含有大量的噪声信号，为了提高检测结果的准确性，需要采用合适的数字信号处理算法对采样信号进行处理，以便将噪声信号滤除。所以要寻找既能保证幅值与相位准确性，又有良好的滤波效果的数字信号处理算法，而谐波小波有着算法实现简单、频域分解灵活、在频域具有盒形紧支特性及相位保持（这样就可以保证相位的准确性）等优点，谐波小波包算法不仅具有谐波小波算法的优点，并且还能对分析频率进行任意的划分，以便提取和分析更加细致的信息。基于以上考虑，本文提出将谐波小波包应用于便携式动平衡仪不平衡量的提取当中。

1 谐波小波变换

谐波小波是英国Newland教授于1993年提出的一种小波函数，在频带[m2π，n2π]内，定义函数的傅里叶变换为：

[ψ（ω）=1[（n-m）2π] ，ω∈[m2π，n2π]0， 其他 ] （1）

式中[m，n∈R+，]其时域表达式为：

[ψm，n（t）=exp（in2πt）-exp（im2πt）i（n-m）2πt] （2）

式（2）称为广义谐波小波，当[m=1，n=2]时成为经典谐波小波，谐波小波的实部为偶函数，虚部为奇函数，[m，][n]可取非负整数值，给定步长[k（n-m），]其中[k]为整数，对式（2）进行平移变换得：

[ψm，nt-kn-m=expin2πt-kn-m-expim2πt-kn-mi（n-m）2πt-kn-m] （3）

分析频带带宽为2π（n-m），分析中心在[t=k（n-m）]处的广义谐波小波的一般形式。

设连续时间信号为x（t），其谐波小波变换定义为：

[Wx（m，n，k）=（n-m）-∞+∞x（t）ψt-kn-mdt] （4）

对式（4）进行傅里叶变换得：

[Wx（m，n，ω）=X（ω）ψm，n[（n-m）ω]] （5）

式（4）与式（5）分别为信号x（t）的谐波小波变换在参数[m，n]尺度下的时域和频域表达式，其离散形式可以写为：

[Wx（m，n，k）=n-mNr=0N-1x（r）ψr-kn-m，r=1，2，…，N-1] （6）

2 谐波小波包变换

根据小波变换和谐波小波的定义，信号x（t）的谐波小波变换可通过下式实现：

[h（m，n，k）=（n-m）-∞+∞w*m，n，kτ-kn-mdτ ] （7）

式中：*表示复共轭；[k∈Z，m，n∈R+ 且m

[Wm，n，kt-kn-m=expi2nπt-kn-m-expi2mπt-kn-mi2π（n-m）t-kn-m] （8）

其频域的表达式为：

[Wm，n，k（ω）=1（n-m）2πexp-iωkn-m，2mπ≤ω≤2nπ 0 ，其他] （9）

将式（7）作傅里叶变换，得到谐波小波变换在频域的表达式为：

[H（m，n，ω）=X（ω）W*（n-m）ω] （10）

由于可以通过FFT和IFFT运算实现谐波小波变换的运算，所以谐波小波算法实现起来是比较容易的，上式中的参数m，n决定了谐波小波变换的尺度，其意义与二进小波变换中的[2j]的j相同，通过不断变化[m，n]的值，就可以实现对频带的不同划分，这样便实现了谐波小波包变换。设信号的奈奎斯特频率为[fn，]分解层数为s，谐波小波包变换在第s层对应有[2s]个子频带，每个子频带带宽为[1]：

[fband=fn2s] （11）

参数[m，n]应满足下列的关系：

[m=ifband=ifn2， i=0，1，…，2s-1] （12）

[n=（i+1）fband=（i+1）fn2， i=0，1，…，2s-1] （13）

根据目标信号的频率来设置合适的m，n的值，便可以提取各基本节律波形[2]。

3 仿真实验

为了便于在便携式刚性转子现场动平衡仪中使用谐波小波包程序，本文编写了谐波小波包变换程序，在Windows下安装了QT开发环境（与开发板图形界面环境一致），编写了相应的图形界面程序，对信号进行了仿真处理。

为了模拟具有大量高频噪声信号的原始采集信号，取如下的模拟信号作为模拟的采样信号：

[F（x）=1+3cos（26πt）+0.1cos（30πt）+3cos（52πt）+2cos（54πt）+1.5cos（60πt）-2cos（150πt）-3cos（184πt）+cos（106πt）-3cos（318πt）+2cos（406πt）-1.7cos（482πt）]

在上面仿真的信号中，假设[0.1cos（30πt）]是想要的振动信号，很明显采样信号中既有直流信号、低频信号也包含较多的高频信号，而在这些信号中目标信号的幅值显然比较小，在512 Hz的采样频率下对信号进行模拟采取，采集了512个点[3]，采样信号时域图形如图2所示。

从图2中可以看到由于采样信号是由很多信号合成的，所以很难从其中看出有什么有用的信息。对这个原始信号进行傅里叶变换，得到它的频域图形如图3所示。

前面已经说过，目标信号是0.1cos（30πt），通过图3发现由于目标信号的幅值比较小，在嵌入式设备这种分辨率不高的设备上很容易忽略它的存在，这会对分析带来一定的麻烦[4]。下面将采样信号进行9层的谐波小波分解，使用的参考基准信号是15 Hz，通过谐波小波包对信号进行提取，谐波小波包变换后信号的频域图如图4所示。

通过图4发现，信号只剩下了目标信号所在那个频段的信号部分，由于分层数是9层，所以频率分解的最小分辨率是1 Hz，这样就可以将其他频率信号所在的频段与目标信号的频段区分开来以便将其他信号屏蔽掉而只保留目标信号所在的频段，再对谐波小波包处理后的信号进行幅值修正，最终通过IFFT变换得到振动信号的时域信息，目标振动信号的时域波形如图5所示。

通过图5发现，通过谐波小波包对信号进行提取不仅可以实现相位的保持，而且通过幅值修正以后，可以比较好地对目标信号进行提取，而且通过调整系数[m，][n]可以实现对任意频段和带宽的分析，从而可以应对比较复杂的情况，实现信号的有效提取。

4 结 语

本文介绍了利用谐波小波包在含有大量噪声信号的采样信号中对微弱动不平衡信号进行提取，在谐波小波变换的基础上通过对分析频带的任意划分处理，实现了谐波小波包算法，通过仿真实验证明了该方法可以实现对微弱动不平衡信号的提取，并且很好地重构了原始信号。谐波小波包构造简单，并且由于其可以任意划分频带，所以可以比较好地将噪声信号滤除而仅仅保留目标信号所在的频段信号，从而实现较好的信号提取效果[5]，在微弱动不平衡信号检测方面具有很好的应用前景。

注：本文通讯作者为李智。

参考文献

[1] NEWLAND D E. Harmonic wavelet analysis [J]. Proceedings： Mathematical and Physical Sciences， 1993， 443（10）： 203?205.

[2] QI Ke?yu， HE Zheng?jia， LI Zhen， et al. Vibration based operational modal analysis of rotor systems [J]. Measurement， 2008， 41（7）： 810?816.

[3] 陈果.一种改进的谐波小波及其在转子故障诊断中的应用[J].机械工程学报，2011，47（1）：8?16.

[4] 柏林，董鹏飞，刘小峰.瞬频特征的谐波小波提取与应用[J].振动与冲击，2010，29（8）：131?135.

[5] WANG Ji?yan， ZHAO Yu?cheng， YAO Bang?hua， et al. Filtering detecting signal of rockbolt with harmonic wavelet [J]. Mining Science and Technology， 2010， 20（3）： 411?414.

[6] 唐贵基，叶进生，胡爱军.基于谐波小波包的微弱信号的频域提取[J].现代电子技术，2009，32（9）：156?159.