借助几何直观，提高运算教学效率

徐伟平

数的运算是小学阶段“数与代数”领域的主要内容之一，是小学生数学学习的重要内容。数的运算包括运算概念、运算法则和运算规律（性质）等，这些知识相互联系又有所区别，是小学数运算教学的重点。在教学中，如何才能让学生有效地形成运算概念、掌握运算法则和探究运算规律呢？课标（2011年版）指出：“几何直观利用图形描述和分析问题，在数学学习过程中发挥着重要作用”。因此笔者以为：要提高运算教学的效率，借助几何直观是一条非常有效的途径。

一、 借助几何直观，理解运算意义

运算意义的理解直接关系着学生对运算法则、规律的学习。课标指出：“借助几何直观可以帮助学生直观地理解数学。”可见，在教学中如果教师适当借助一些几何直观，帮助学生理解运算的意义，可以提高运算教学的效率。

1.“实物”直观

实物与生活联系紧密，趣味性浓，符合小学生的心理特点，是低年级中用得较多的几何直观方法。实物直观既可以是小棒之类的实物，也可以是苹果之类的“实物图”。借助“实物”直观可以帮助学生理解运算意义，促进学生学习。

2.“线形”直观

数线图是理解运算的形象载体，不但可以将抽象的“数”直观形象化，也可以将运算直观形象化，是帮助学生理解运算意义的有效途径。

[案例1]《乘法的认识》教学片断

（在学生认识乘法算式，了解各部分名称后。）

（1）如图1：小青蛙做游戏，一步跳3格，一共跳了4步，你知道它总共跳了几格吗？

（2）引导学生通过“等距离跳跃”数数，理解：“3×□=□”

（3）引导学生得出：求几个相同加数的和可以用乘法计算。

教师在教学“乘法的认识”时，充分利用数线图，让学生理解“乘法就是在数线图上从0开始几个几个地向右数，数到几，积就是几”。这种连续的“等距离跳跃”数数，还可以帮助学生清楚地认识乘法口诀中乘积的来源，理解相同加数连加的乘法本质。同时，也可以让学生认识到“加法其实是在数线图中往右数数；减法其实是在数线图中向左数数”等，这是加法、减法等运算意义的另一类有效表达方式。

二、 借助几何直观，掌握运算法则

长期以来，广大教师在教学运算法则时，多强调运算方法的掌握而忽视算理的理解，其中有一部分原因是不知如何引导学生正确理解算理。课标指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。”因此在运算教学时，教师要尽可能地借助一些必要的几何直观，让学生通过观察、想象、操作等过程，有效掌握运算法则。

1.符号直观

符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律。在运算教学中，借助符号直观可以把复杂的问题变得简洁、易懂，是教学中重要的教学手段。

[案例2]《9+几》教学片断。

（1）出示：10+1= 10+2= 10+3= 10+4=

10+5= 10+6= 10+7= 10+8= 10+9= 口算后引导学生得出：“10加几就是十几”

（2）出示情境并引导学生列式“9+4=”

（在学生尝试计算并反馈后，重点引导学生对“凑十法”的理解。）

①出示格子图。

②同桌合作在格子里面摆9个圆片，外面放4个圆片（如图2）。

③通过观察，从外面拿1个放进格子里，这样格子里就“凑”成10个圆片，外面还有3个，“合”起来就是13个圆片。

④在原图上进行修改，变为：

⑤引导学生思考，把4分成1和3，1和9凑成10，10加3是13。

……

在教学《9+几》时，教师先通过“10+几”的口算，让学生感受到“10+几就是十几”的简便，同时为“凑十法”作了有效铺垫；然后借助格子图让学生经历操作、演示、思考等过程，把复杂的“凑十”变得直观、简单；最后又把9个小圆片变为“9个○”，让学生逐步摆脱了借助直观对“凑十法”的理解，提升了学生思维。这节课学生通过符号化的图形——小圆片，感知“凑十”的过程和方法，进而理解“凑十”的意义，效果明显。

2.图形直观

几何图形由于其简单、直观、易操作（折、画），常用作数学教学的重要学具。教师如果能够充分发挥几何图形的特性，挖掘几何图形的特有功能，注重“几何图形”与“数的运算”的结合，可以帮助学生正确地理解算理。

[案例3]《分数乘分数》教学片断。

（2）在反馈的基础上让学生观察下面的图和相应的分数。

（5）引导学生根据图形的变化把上面的分数写成：

3×□ 6×□ 12÷□ 6÷□

4×□ 8×□ 16÷□ 8÷□

（6）引导学生发现：分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。

教学中，教师先让学生把长方形三次对折涂色，比较涂色部分的大小，然后在线段图的填数中比较分数大小，引导学生观察分子、分母的变化，总结得出分数的基本性质。学生在动手实践的过程中，把数与形有机结合，积极思考，突破了教学的重难点。

2.“图式”结合

张奠宙曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”图形与算式的结合，能有效帮助学生的理解，进行数学的抽象与推理，提升教学效率。

[案例5]《乘法分配律》教学片断。

（1）出示情境：（如图7）学校要给两块连在一起的长方形地面铺上草坪，至少需要购买多少平方米草皮？

（2）学生反馈：

①看作一个长方形算，列式为：（12+8）×10=200（平方米）

②先分开算再加起来，列式为：12×10+8×10=200（平方米）

（3）引导学生根据计算结果把两个算式表示为：

①（12+8）×10=12×10+8×10=200

②12×10+8×10=（12+8）×10=200

（4）改变情境：在种草坪时，想把花坛重新分割成两个长方形，你能分一分吗？

（学生根据图形分割的结果列式计算，并理解算式所表示的实际意义。）

（5）引导学生探究规律得出：a×（b+c）=a×b+a×c

教学时，在求花坛草坪总面积的情境下，学生先用两种不同策略列式求解，得出虽然算式不同，但积相等的结果；然后又通过分割图形，把乘法分配律建立在了具体的情境之上；最后通过观察、分析、对比、总结，深化了他们对乘法分配律的认识。这种“图”与“式”的结合，便于学生理解与掌握，有力地促进了学生对知识点的把握。

总之，“数与形”虽然是数学教学中两个不同的领域，但在教学时，教师如果能充分挖掘“数运算”的几何内涵，理解“几何直观”的特性，打通“数与形”的联系，“数的运算”教学一定会取得意想不到的收获。

【责任编辑：陈国庆】