培养算法意识，遵守解题规则

陈祯仔

每一个数学问题的解决都对应着一个算法，研究问题的解决方法就是研究算法.时常学生会问老师您的解答是怎样想到的？我怎么就想不到呢？其实在大多数情况下，学生解题时不知道自己是否要遵循什么规则与方法，误打误撞就把数学问题解决了.数学解题，是一种有目的、有计划的心智活动，要求解题者遵守一定的解题规则.学生解题规则的自觉遵守是解题教学的核心目标，因此解题教学时应当培养学生的算法意识，促进学生解题规则的不自觉遵守转化为有意识、有目的、有策略的运用.下面以一节公开课的片段为例，谈谈笔者对培养学生算法意识的几点体会.

一、案例实录

人教A版必修四平面向量复习课.

例题1：已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·= .

教师解法1：以A为原点，以AB方向为x轴的正方向，以AD方向为y轴的正方向，则A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（1，2），

∴ =（1，2），=（-2，2），

∴ ·=-2+4=2.

教师：当向量用坐标表示以后，向量的加、减、数乘、数量积运算就变成了代数运算.本题适合建立平面直角坐标系，简洁高效，这是大多数学生首选的解法，也有学生不建立平面直角坐标系，用基底……

教师话音未落，部分学生不耐烦地小声说：“这么简单的问题还想一题多解？”

教师默然，以学定教嘛，就让学生思考下面问题：

例题2：在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，若·=1，则AB的长为 .

学生思考，教师巡视，发现用基底表示向量的学生解题思路明确，解题过程在有序进行.选择建立平面直角坐标系的学生，部分由于建立坐标系时原点选择不妥，点的坐标不好表示，以为方法不对，正在困惑着.

教师：向量问题如果平面直角坐标系不好建立时，应当选择一组基底，把所要求的向量用基底表示出来，应用向量数量积的运算规则运算，就可以求出AB的长.当然建立恰当的平面直角坐标系，设AB=a，完全可以求出A，B，C，D的坐标。

学生1：以A为原点，以AB方向为x轴的正方向，过A且垂直于AB的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，

则A（0，0），B（a，0），D（，），D（+a，），E（，），=（+a，），=（，），

∵·=1，

∴·+=1，a=.

学生2：设 = ， = ，则= + ， =-.

∵·=1， ∴（ + ）·（-）=1，即

· + · - · =1，所以AB+1-AB2=1，AB=2.

教师：解决向量问题的主要思路是建立直角坐标系或用基底表示向量，当平面直角坐标系不好建立时，用基底来表示向量是常规解法.事实上，一组基底也是一个坐标系，只不过是斜坐标系.

二、反思与对策

复习课上教师常对学生会做但解法冗长、会做但做不全的问题引导学生分析、归纳、优化解法，总结解题规则.但学生经常把答案正确的数学问题、会做但做不全的数学问题、会做但得不出结论的问题都当成自己掌握了问题解法，不希望教师在课堂上帮助他们优化解题思路，归纳解题规则.课堂上，只喜欢教师分析讲解思路不清晰的数学问题，喜欢听讲解题方法，不喜欢听讲为什么这么解，不喜欢遵守解题规则.学生做练习只是完成教师布置的任务，解题生搬硬套，遇到不顺手的问题不从解题方法、解题规则上寻找思路，而是百度搜索，拍提神器，参考书抄写，并不在乎练习完成的质量.课余时间无所事事，不想看书，更谈不上对所学知识、思想方法、解题规则进行归纳、总结、概括，内化吸收.

学生是鲜活的，不断变化的，每一个学生都是一个独立的个体，一个独特的思维空间.面对错综复杂的学生思维差异，使学生明确算法是解决某一个或一类数学问题的一种程序化方法.比如，帮助学生总结向量问题的算法主要是建立坐标系或选择一组基底，那么遇到向量问题，学生思路清晰，就可以避免解题误打误撞.事实上，学生解题或多或少都在不自觉地应用着算法思想，只是缺乏从算法的角度去观察问题和思考问题.课堂教学应该促使学生讲规则地学，遵守规则解题，培养学生的算法意识，促进学生思维能力的发展.

1.利用问题驱动帮助学生总结解题规则，培养算法意识

本节课教师课堂教学预设是先讲例题1的解法1和解法2（即用基底表示向量），然后引导学生归纳总结解决向量问题的两种解法，接着用例题2当堂巩固训练.但课堂上学生认为会做的题目不需要老师花时间讲解，课堂生成了新问题，教师的课堂预设无法实施.学生会做的题目要不要讲，关键在于讲什么.学生解决简单问题的重点在于加深对概念的理解，总结解题规则清晰算法.例题1属于简单问题，教学重点在于帮助学生理清解题规则，明确算法.教师可从问题本质入手，利用问题驱动，以设问的方式引导学生积极思维，化被动听为主动思考，帮助学生理清解题规则，培养算法意识.

上课伊始，教师直接展示兩种解法，学生阅读并思考以下几个问题：

（1）解法1的解题依据是什么？

（2）解法2中，向量，用哪一组基底表示比较好？

（3）建立平面直角坐标系的条件是什么？

（4）你还有其他的解题方法吗？

小组交流讨论后，引导学生归纳总结向量数量积两种计算方法的条件：如果模长和夹角已知或容易求，就选择公式 · =cosθ求解；若向量坐标已知或平面直角坐标系容易建立，就选择公式 · =x1x2+y1y2求解；既有模长和夹角，又有向量坐标，就要联合两个公式求解.向量既有代数性质又有几何意义，恰好体现在向量数量积的两个计算公式上，向量的数量积是利用向量解决数学问题的主要工具.在问题的引领下，学生的思维能力被激活，知道了求向量数量积可以根据已知条件选择不同的算法.此时教师抛出问题2，学生解题时底气充足，解题规则清楚，算法明确，能取得事半功倍的效果.

2.一題多解帮助学生整理解题规则，突出算法思想

学生生活背景和思考角度不同，对数学问题的想法也五花八门，所使用的解题方法必然是多样的.一题多解是指从多种知识、不同角度，运用不同的思维方式来解答同一个问题的思考方法.一题多解，充分揭示数学问题的丰富内涵，展示数学问题算法的多样性，培养学生学习数学的兴趣；一题多解，突出算法思想，能开拓学生解题思路，引导学生更深入地探究问题.如，在复习选修4-5不等式选讲时，可用例3归纳不等式证明常用的方法.

例题3：已知a>0，b>0，求证：+≥a+b.

学生思考交流，教师巡视个别指导.

学生1（求差法）：+-（a+b）=

==

因为a>0，b>0，所以a+b>0，ab>0，（a-b）2≥0.

故+-（a+b）=≥0，

所以不等式+≥a+b成立.

学生2（分析法）：因为a>0，b>0，+≥a+ba3+b3≥ab（a+b）a2-ab+b2≥ab（a-b）2≥0，又因为（a-b）2≥0显然成立，

所以a+b≥0，ab≥0，+-（a+b）=≥0，所以不等式+≥a+b成立.

学生3（综合法）：∵（a-b）2≥0， ∴a2-ab+b2≥ab，

∵a>0，b>0， ∴（a+b）（a2-ab+b2）≥ab（a+b）即a3+b3≥ab（a+b），

∴+≥a+b，即不等式成立.

学生4：由柯西不等式得：（+）（a+b）≥（a+b）2，

∴+≥a+b，即不等式成立.

学生5：+b≥2a，+a≥2b， ∴+b++a≥2a+2b，

∴+≥a+b，即不等式成立.

3.多题一解帮助学生辨析解题规则，展示算法魅力

培养数学能力的主要途径是培养学生的数学思维能力，对学生进行过多的解题训练，反而会制约学生思维能力的发展，使学生对学习数学失去兴趣.实践证明，引导学生对典型例题解法的总结、回味与提炼，能使学生变重解题的数量为重解题的质量.引导学生进行解题后的反思，力求做到解决一道题，悟出一些方法、道理和算法.在数学教学中，通过适当的多题一解训练，引导学生对某一类型问题固化某一种解法或算法.比如，圆锥曲线与直线的位置关系，最值、零点与单调性问题等都有相类似的解法和算法，充分展示算法的魅力.

4.一题多变帮助学生认准解题规则，感受算法思想

一题多变是指对原来问题的条件或结论的知识载体进行引申，把相关知识进行迁移、运用，变出的问题结构与原题基本相同的一种变题方法.在数学教学中，改变例题中部分条件或者结论，形成新问题，帮助学生认准解题规则，有利于发展学生的创造性思维能力，感受算法思想.例如，在复习恒成立问题时，可由以下例题教学变式训练.

例题4：当x>1时，不等式a≤x+恒成立，则实数a的取值范围为 .

变式一：当x>3时，不等式a

变式二：已知函数f（x）=x2-（1+a）x+1+a，若f（x）>0在区间R上恒成立，则实数a的取值范围为 .

变式三：已知函数f（x）=x2-（1+a）x+1+a，若f（x）>0在区间（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为 .

变式四：已知函数f（x）=x2-（1+a）x+1+a，若f（x）>0在区间（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围为 .

总之，自觉应用算法思想，遵守解题规则，能最大程度地避免解题时误打误撞，节省解题时间，提高解题效率.解题教学的目标就是要指导学生反思解题过程，优化解题思路，提炼解题规律，最终习得解题规则和算法思想.

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