初中数学概念教学中，仍要把“悟”的时间还给学生

刘颖

概念是思维的基本单位。由于概念的存在和应用，人们可以对复杂实物做出简化、概括或分类的反应；由于概念是在揭示了经验的内在联系，获得了实物的本质特征以后形成的，所以，概念增加了经验的意义。概念将事物依其共同属性而分类，依其属性的差异而区别，因此，概念的形成可以帮助学生了解事物之间的从属或相对关系。

数学概念是人类对现实世界的空间形式和数量关系的简明、概括的反映，并且都由反映概念本质特征的符号来表示，这些符号使数学比别的学科有更加简明、清晰、准确的表述形式。在中学数学教学中，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，对数学概念的理解和掌握既是正确思维的前提，又是提高数学解题能力的必要条件。而数学概念形成的主要途径可以说是教学。

三角形的内角和这一定理在初中的数学中有着举足轻重的地位，它是初中数学最基础、最重要的内容之一，是以后学习多边形内角和的基础，特别是现代生活中的“镶嵌”，也离不开三角形的内角和定理。学习它，特别是学习它的推理证明，可以发展学生的思维品质，培养他們自主学习、合作探究、推理论证等能力。

根据皮亚杰的认知发展理论，学生在遇到新概念时，总是先用已有认知结构去同化，如果获得成功，就得到暂时的平衡；如果同化不成功，则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构，以顺应新概念，从而达到平衡。本文以《14.2（1）三角形的内角和》为题目，说说我是怎样依据学生概念学习的这种机制，利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置出相应的教学情境，以使学生能够意识到这种不平衡，从而引起学生的认知需要，促使学生展开积极主动的学习活动。

本节课的教学目标有：（1）经历对三角形内角和进行猜测、说理证实的研究过程，体会直观感知与理性思考的联系和区别，感受添加辅助线的依据；（2）掌握三角形的内角和性质，能运用这一性质进行简单的说理计算。本节课的教学难点是：感受辅助线生成的过程，证实三角形内角和的性质。本节课是由实验几何向论证几何过渡，初步经历和体验几何推理的过程.

作为几何证明的重要组成部分，这节课所涉及的内容对于几何证明的学习显得十分重要。其原因一方面在于，这是添加辅助线、进行几何证明的首次学习，学生对此普遍感到困难；另一方面，这是《义务教育数学课程标准》下的“几何公理体系”第一次循环的综合运用，即“两直线平行，内错角相等”“内错角相等，两直线平行”的综合应用。

我认为本节课的重点和难点是证明三角形内角和为180° 的辅助线的添法。为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线。三角形的内角和为180°，这个定理学生小学已经学过，而且用操作的方法进行了初步的验证，因此，本节课主要是定理的证明。在证明的过程中，设置了一个小提示，“180°是在什么情况下出现的？你可以怎样建构。”由于刚刚学习过平行线，因此，学生多数都能联想到两直线平行，同旁内角互补；也能想到，平角为180°，学生有了初步的想法：添加平行线。然后我根据学生的特点安排了分组讨论证明，学生经过小组讨论，一共获得了如下几种证明的方法：

方法1：作AD//BC，根据两直线平行，内错角相等和同旁内角互补，得到∠C=∠DAC，∠B+∠BAD=180°，再根据等量代换，得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法2：过点A作ED//BC，根据两直线平行，内错角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAB，再由等量代换和平角的意义从而得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法3：过点A作ED//BC，延长BA，根据直线平行同位角和内错角相等，得到∠C=∠DAC，∠B=∠EAD再由等量代换和平角的意义得∠BAC+∠B+∠C=180°。

方法4：过点A，B，C作AD//BE//CF，根据两直线平行，内错角相等则∠ACD=∠DAC，∠EBA=∠BAD，再由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

方法5：过点A，B，C作AD⊥BC，BE⊥BC，CF⊥BC，由垂直的意义，得到∠EBC=∠FCD=90°，再由两直线平行内错角相等，得∠ACF=∠DAC，∠EBA=∠BAD，最后由两直线平行，同旁内角互补得到∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

此时，本节课的重点和难点自然突破，在探索的过程中，无论是优等生还是学困生都获得了极大的成功感，优等生能掌握更多的方法，而学困生也能掌握1～2种。

学生在探索添加辅助线证明这一部分一共用了25分钟，后面的练习题分配的时间就相对少了，但是笔者认为，多种辅助线的添加，不仅锻炼了学生的思维品质，还培养了他们自主学习、合作探究、推理论证等能力。本节课中三角形内角和的熟练掌握也为学生今后学习多边形的内角和等知识打下了良好的基础。

编辑 王团兰